并沒有完全看懂，先收藏。在沒有約束條件的情況下，求函數的最優解。

梯度的方向與等值面垂直，并且指向函數值提升的方向。

二次收斂是指一個算法用于具有正定二次型函數時，在有限步可達到它的極小點。二次收斂與二階收斂沒有盡然聯系，更不是一回事，二次收斂往往具有超線性以上的收斂性。一階收斂不一定是線性收斂。

解釋一下什么叫正定二次型函數：

n階實對稱矩陣Q，對于任意的非0向量X，如果有X^TQX>0，則稱Q是正定矩陣。

對稱矩陣Q為正定的充要條件是：Q的特征值全為正。

二次函數，若Q是正定的，則稱f(X)為正定二次函數。

黃金分割法

黃金分割法適用于任何單峰函數求極小值問題。

求函數在[a,b]上的極小點，我們在[a,b]內取兩點c,d，使得a<c<d<b。并且有

1）如果f(c)<f(d)，則最小點出現在[a,d]上，因此[a,d]成為下一次的搜索區間。

2）如果f(c)>f(d)，則[c,b]成為下一次的搜索區間。

假如確定了[a,d]是新的搜索區間，我們并不希望在[a,d]上重新找兩個新的點使之滿足(1)式，而是利用已經抗找到有c點，再找一個e點，使滿足：

可以解得r=0.382，而黃金分割點是0.618。

練習：求函數f(x)=x*x-10*x+36在[1,10]上的極小值。

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最速下降法

泰勒級數告訴我們：

其中Δx可正可負，但必須充分接近于0。

X沿D方向移動步長a后，變為X+aD。由泰勒展開式：

目標函數：

a確定的情況下即最小化：

向量的內積何時最小？當然是兩向量方向相反時。所以X移動的方向應該和梯度的方向相反。

接下來的問題是步長a應該怎么定才能使迭代的次數最少？

若f(X)具有二階連續偏導，由泰勒展開式可得：

H是f(X)的Hesse矩陣。?

可得最優步長：

g是f(X)的梯度矩陣。

此時：

可見最速下降法中最優步長不僅與梯度有關，而且與Hesse矩陣有關。

練習：求函數f(x1,x2)=x1*x1+4*x2*x2在極小點，以初始點X0=(1,1)T。

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梯度下降法開始的幾步搜索，目標函數下降較快，但接近極值點時，收斂速度就比較慢了，特別是當橢圓比較扁平時，收斂速度就更慢了。

另外最速下降法是以函數的一次近似提出的，如果要考慮二次近似，就有牛頓迭代法。

牛頓迭代法

在點X^k處對目標函數按Taylar展開：

?

?令

得

即

可見X的搜索方向是，函數值要在此方向上下降，就需要它與梯度的方向相反，即。所以要求在每一個迭代點上Hesse矩陣必須是正定的。

練習：求的極小點，初始點取X=(0,3)。

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?牛頓法是二次收斂的，并且收斂階數是2。一般目標函數在最優點附近呈現為二次函數，于是可以想像最優點附近用牛頓迭代法收斂是比較快的。而在開始搜索的幾步，我們用梯度下降法收斂是比較快的。將兩個方法融合起來可以達到滿意的效果。

收斂快是牛頓迭代法最大的優點，但也有致命的缺點：Hesse矩陣及其逆的求解計算量大，更何況在某個迭代點X^k處Hesse矩陣的逆可能根本就不存在（即Hesse矩陣奇異），這樣無法求得X^k+1。

擬牛頓法

Hesse矩陣在擬牛頓法中是不計算的，擬牛頓法是構造與Hesse矩陣相似的正定矩陣，這個構造方法，使用了目標函數的梯度（一階導數）信息和兩個點的“位移”（X_k-X_k-1）來實現。有人會說，是不是用Hesse矩陣的近似矩陣來代替Hesse矩陣，會導致求解效果變差呢？事實上，效果反而通常會變好。

擬牛頓法與牛頓法的迭代過程一樣，僅僅是各個Hesse矩陣的求解方法不一樣。

在遠離極小值點處，Hesse矩陣一般不能保證正定，使得目標函數值不降反升。而擬牛頓法可以使目標函數值沿下降方向走下去，并且到了最后，在極小值點附近，可使構造出來的矩陣與Hesse矩陣“很像”了，這樣，擬牛頓法也會具有牛頓法的二階收斂性。

對目標函數f(X)做二階泰勒展開：

兩邊對X求導

當X=X_i時，有

這里我們用H_i來代表在點X_i處的Hesse矩陣的逆，則

(5)式就是擬牛頓方程。

下面給出擬牛頓法中的一種--DFP法。

令

我們希望H_i+1在H_i的基礎上加一個修正來得到：

給定E_i的一種形式：

m和n均為實數，v和w均為N維向量。

(6)(7)聯合起來代入(5)可得：

下面再給一種擬牛頓法--BFGS算法。

?

(8)式中黑色的部分就是DFP算法，紅色部分是BFGS比DFP多出來的部分。

BFGS算法不僅具有二次收斂性，而且只有初始矩陣對稱正定，則BFGS修正公式所產生的矩陣H_k也是對稱正定的，且H_k不易變為奇異，因此BFGS比DFP具有更好的數值穩定性。

共軛方向法

最速下降法有鋸齒現像，收斂速度慢；而牛頓法需要計算Hesse矩陣而計算量大。共軛方向法收斂速度界于兩者之間，具有二次收斂性。共軛方向法屬于效果好而又實用的方法。

由于一般目標函數在最優點附近呈現為二次函數，因此可以設想一個算法對于二次函數比較有效，就可能對一般函數也有較好效果。共軛方向法是在研究對稱正定二次函數的基礎上提出來的。

則稱兩個向量P₀和P₁為Q的共軛向量。當Q為單位向量時，有，所以“共軛”是“正交”的推廣。

對于二次正定函數，從任意點X⁰出發，沿任意下降方向P⁰作直線搜索得到X¹，再從X¹出發，沿與P⁰共軛的方向P¹作直線搜索，即可得到f(X)的極小點。

當一組向量Pⁱ（i=1,2,...,n-1）為Q共軛時，從任意點出發，依次沿P⁰,P¹,P²,...,P^n-1方向作下述算法的直線搜索，經過n次迭代必定收斂于正定二次函數的極小點。

為確定最優步長t_k,令

現在問題是如何產生一組關于Q共軛的向量？這里一種叫作Gram-Schmidt的方法。

取線性無關的向量組V⁰,V¹,...,V^n-1，例如取n個坐標軸的單位向量。

取P⁰=V⁰.

上面的方法都是針對目標函數為正定二次函數的，對于一般非二次函數，可以通過二次近似。

這就是f(X)在極小點X*處的近似，是Hesse矩陣，相當于Q，由于X*未知，但當X⁰充分接近于X*時，可用近似代替，從而構造共軛向量。

理論與實踐證明，將二次收斂算法用于非二次的目標函數，亦有很好的效果，但迭代次數 不一定保證有限次，即對非二次n維目標函數經n步共軛方向一維搜索不一定就能達到極小點。在這種情況下，為了找到極小點，可用泰勒級數將該函數在極小點附 近展開，略去高于二次的項之后即可得該函數的二次近似。實際上很多的函數都可以用二次函數很好地近似，甚至在離極小點不是很近的點也是這樣。故用二次函數 近似代替非二次函數來處理的方法不僅在理論分析上是重要的，而且在工程實際應用中也是可取的。

共軛梯度法

共軛梯度法是共軛方向法的一種延伸，初始共軛向量P⁰由初始迭代點X⁰處的負梯度-g⁰來給出。以后的P^k由當前迭代點的負梯度與上一個共軛向量的線性組合來確定：

對于非二次函數的優化問題，迭代次數不止n次，但共軛方向只有n個。當迭代n次后，可以把Pⁿ重新置為最開始的P⁰，其他的變量按原方法更新。

原文來自:博客園（華夏35度）http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang 作者:Orisun

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總結

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