我們先看Shreve給出的布朗運(yùn)動(dòng)的定義

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)布朗運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)“無(wú)記憶”的隨機(jī)過(guò)程。每次的增量服從正態(tài)分布，這個(gè)增量與之前的路徑無(wú)關(guān)，增量的variance等于這個(gè)增量對(duì)應(yīng)時(shí)間差（$Var[W(t+\Delta t)?W(t)]=\Delta t$).

現(xiàn)在我們考慮更為復(fù)雜的隨機(jī)過(guò)程。在微積分中，我們會(huì)有微分的概念$dx=f^{\prime }(t)dt(x=f(t),dt=t+dt?t)$. 如果我們簡(jiǎn)單的有$dx=\mu dt,x(0)=0$, 我們就可以推出$x(t)=\mu t$. 我們現(xiàn)在運(yùn)用剛學(xué)的布朗運(yùn)動(dòng)，在原有的微分的基礎(chǔ)上加入隨機(jī)擾動(dòng) $dW=W(t+dt)?W(t)$. 用我們剛學(xué)得關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，這個(gè)隨機(jī)繞動(dòng) $dW$ 就是一個(gè)均值為0，variance為 $dt$ 的正態(tài)隨機(jī)量。在微分中加入隨機(jī)擾動(dòng) $\sigma dW$, 這樣我們得到 $dx=\mu dt+\sigma dW$. 此時(shí) $x(t)$ 就不在是一個(gè)確定的函數(shù)而變成了一個(gè)隨機(jī)變量。我們可以類(lèi)似的求得$x(t)=\mu t+\sigma W(t)$.

現(xiàn)在我們來(lái)看一個(gè)略微復(fù)雜的隨機(jī)過(guò)程，$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$. 這是Black–Scholes模型中假設(shè)股票$S$服從的隨機(jī)過(guò)程。為了理解這個(gè)過(guò)程，我們來(lái)看一下Ito公式。假設(shè)函數(shù)$C(t,x)$有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，那么我們有
$dC(t,S)=C_{t}dt+C_{S}dS+\frac{1}{2}{C}_{SS}(dS{)}^2=C_{t}dt+C_S(\mu Sdt+\sigma SdW)+\frac{1}{2}{C}_{SS}(\mu Sdt+\sigma SdW{)}^2=C_{t}dt+C_S(\mu Sdt+\sigma SdW)+\frac{1}{2}{C}_{SS}{\sigma }^2{S}^{2}dt=(C_t+\mu S{C}_S+\frac{{\sigma }^2}{2}{S}^2{C}_{SS})dt+\sigma S{C}_{S}dW.$
理解Ito公式的一個(gè)簡(jiǎn)單方法就是用泰勒展開(kāi)。但我們必須記住保留二階微分項(xiàng)$(dS{)}^2$因?yàn)?span id="vt6mr5x" class="katex--inline">$(dW{)}^2=dt$.通過(guò)Ito公式，我們可以得到
$$d(lnS)=(\mu ?\frac{{\sigma }^2}{2})dt+\sigma dW$$
因此
$$S=e^{(\mu ?\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W(t)}.$$

Excel for the simulation of the above: https://github.com/mathengineer/BrownianMotionToAmericanOption

從Ito公式，我們很容易能得到Black-Scholes PDE. 我們考慮一個(gè)歐式看漲期權(quán)，期權(quán)的價(jià)格應(yīng)該與時(shí)間和股票價(jià)格有關(guān)。我們假設(shè)這個(gè)期權(quán)在 $t$ 時(shí)刻的價(jià)格是 $C(t,S)$. 我們現(xiàn)在來(lái)看一個(gè)這個(gè)期權(quán)加上 $?C_S$ share 股票的一個(gè)投資組合。當(dāng)時(shí)間變化了 $dt$ 這個(gè)投資組合的變化量應(yīng)該為 $dC(t,S)?C_{S}dS$. 應(yīng)用 Ito 公式，我們可以算出這個(gè)變化量為 $dC(t,S)?C_{S}dS=(C_t+\frac{{\sigma }^2}{2}{S}^2{C}_{SS})dt$. 可以看到這個(gè)投資組合并無(wú)任何隨機(jī)項(xiàng) ($dW$項(xiàng))。對(duì)于這樣一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，它的回報(bào)率只能為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 $r$, 所以 $dC(t,S)?C_{S}dS=r(C?C_{S}S)dt$. 結(jié)合上面的結(jié)果，我們推導(dǎo)出 $(C_t+\frac{{\sigma }^2}{2}{S}^2{C}_{SS})dt=r(C?C_{S}S)dt$. 這就是Black-Scholes PDE. 我們可以做變量代換把這個(gè)PDE轉(zhuǎn)化成熱方程從而得出期權(quán)的公式。這里我們不繼續(xù)深入討論這個(gè)做法。下面我們要介紹用中性(risk neutral)概率的方法來(lái)得到期權(quán)公式。概率的做法的好處是我們極其容易將它轉(zhuǎn)換成一套可以用蒙特卡洛方法的到期權(quán)價(jià)格的算法。

我們先來(lái)引入一個(gè)概率的概念鞅(martingale): 簡(jiǎn)而言之，鞅$X$就是滿(mǎn)足條件期望不增不減的隨機(jī)過(guò)程 ($E[X(t)|\mathcal{F}(s)]=X(s)$ for all $s<t$). 如果期權(quán)價(jià)格$C(t,S)$是鞅的話(huà)，期權(quán)定價(jià)將變得極其容易$C(t,S(t))=E[C(T,S(T))|\mathcal{F}(t)]$, 而期權(quán)在最終時(shí)刻的價(jià)格就是$C(T,S(T))=(S(T)?K{)}^{+}$. 不幸的是期權(quán)價(jià)格$C(t,S)$并不是鞅。幸運(yùn)的是，它幾乎等于鞅。我們從上面的推導(dǎo)看到期權(quán)加上 $?C_S$ share 股票的投資組合的回報(bào)率等于$r$. 這樣我們很容易可以看出期權(quán)等同于$C_S$ share 股票加上把剩余的前存進(jìn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)銀行（或者從銀行借錢(qián)）的組合（$C_S$ share of S and the rest of money in money account M where $dM=rMdt$). 從股票的公式$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$我們看到它的平均回報(bào)率是 $\mu$,這個(gè)回報(bào)率一般高于$r$來(lái)reward投資者接受的風(fēng)險(xiǎn)$\sigma$ ($\frac{\mu ?r}{\sigma }$就是夏普比Sharpe ratio)。Girsanov定理告訴我們，我們可以通過(guò)改變概率分布來(lái)改變隨機(jī)過(guò)程的drift(平均回報(bào)率項(xiàng))。我們現(xiàn)在取一個(gè)中性概率空間，使得股票在此概率空間中的平均回報(bào)率剛好等于$r$，即$dS=rSdt+\sigma Sd\tilde{W}$. 在此空間中，我們剛才的股票加銀行賬戶(hù)的平均回報(bào)率就是$r$, 因而期權(quán)的平均回報(bào)率也就等于$r$. 在此概率空間，我們簡(jiǎn)單的有$dC=rCdt+...d\tilde{W}$. 于是$d{e}^{?rt}C=...d\tilde{W}$. 既然我們只有布朗運(yùn)動(dòng)項(xiàng)，$e^{?rt}C$這個(gè)過(guò)程就必定是鞅。所以我們就有期權(quán)在中性概率下的定價(jià)公式$e^{?rt}C(t,S(t))=E[e^{?rT}C(T,S(T))|S(t)]$.

未完待續(xù)。接下來(lái)我們將講如何用上面的定價(jià)公式和蒙特卡洛方法來(lái)算歐式期權(quán)價(jià)格。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的从布朗运动到Black–Scholes的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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