歐拉回路

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定義

歐拉回路：圖G中每條邊且只通過一次，并且經過每一頂點的回路
歐拉通路：（歐拉路徑）：圖G中每條邊且只通過一次，并且經過每一頂點的通路
歐拉圖：存在歐拉回路的圖
半歐拉圖：存在歐拉通路的圖
極大連通子圖：在一個連通子圖中，包含和頂點有關所有的邊（the more the better），那就是極大連通子圖。

判定一個圖是否是（半）歐拉圖

無向圖：

定理1：無向圖G為歐拉圖，當且僅當G為連通圖且所有頂點的度為偶數。

推論1：無向圖G為半歐拉圖，當且僅當G為連通圖且除了兩個頂點的度為奇數外，所有頂點的度為偶數。

有向圖：

定理2：有向圖$G$為歐拉圖，當且僅當$G$的基圖為連通圖，且所有頂點的入度等于出度。

注：有向圖的基圖就是去掉所有方向的無向圖。

推論2：有向圖$G$為半歐拉圖，當且僅當$G$的基圖為連通圖，且存在頂點$u$的入度比出度大1，$v$的出度比入度大1，且其他的所有頂點的入度等于出度。

對于求解歐拉回路的，我們還需要以下兩個性質：

• 設$C$是歐拉圖$G$中的一個簡單的回路，將$C$中的邊從圖$G$中刪去的帶一個新的圖$G^1$，則$G^1$的每一個極大連通子圖都有一條歐拉回路。

證明： 若$G$為無向圖，則圖$G^{{}^{\prime }}$的各頂點的度都為偶數；若$G$為有向圖，則圖$G^{{}^{\prime }}$的各頂點的入度等于出度。

• 設$C_1$、$C_2$是圖$G$的兩個沒有公共邊，但至少有一個公共頂點的簡單回路，我們可以將他合并成一個新的簡單回路$C^{{}^{\prime }}$。

證明： 按下圖合并

算法步驟

以無向圖為例：

• 在圖$G$中任意找到一個回路$C$；

• 將圖$G$中屬于回路$C$的邊刪除；

• 在殘余圖的各極大連通子圖中分別尋找歐拉回路；

• 將各極大連通子圖的歐拉回路合并到$C$中得到圖$G$的歐拉回路。

算法原理

代碼：

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std;const int M = 100010,N = 1000010; int head[M],ver[N],Next[N],tot;//鄰接表 int stack[N],ans[N]; bool vis[N]; int n,m,top,t; void add(int x,int y) {ver[++tot] = y,Next[tot] = head[x],head[x] = tot; } void euler() {stack[++top] = 1;while(top > 0) {int x = stack[top], i =head[x];while(i && vis[i]) i = Next[i]; //找到一條未訪問的邊if(i) { //沿著這條邊模擬遞歸的過程，標記改變，并更新表頭stack[++top] = ver[i];head[x] = Next[i];vis[i] = vis[i^1] = true;} else { //與x相連的所有邊都已經訪問，模擬回溯過程，并記錄于答案棧中 top--;ans[++t] = x;}} } int main(){scanf("%d %d",&n,&m);tot = 1;for(int i = 1; i <= m; i++){int x,y;scanf("%d %d",&x,&y);add(x,y);add(y,x);}euler();for(int i = t; i ; i--) printf("%d\n",ans[i]);return 0; }

參考：黃新軍，董永建《信息學奧賽一本通·提高篇》

哈密頓回路

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的快乐暑假（八）——欧拉回路和哈密顿回路的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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