經典01背包問題，沒有什么陷阱，唯一要求就是要優化空間復雜度！下面是關于01背包的講解：

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01背包問題是最基礎的背包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

這個方程非常重要，基本上所有跟背包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的背包中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那么就可以轉化為一個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的背包中”，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。

優化空間復雜度

以上方法的時間和空間復雜度均為O(N*V)，其中時間復雜度基本已經不能再優化了，但空間復雜度卻可以優化到O(V)。

先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有一個主循環i=1..N，每次算出來二維數組f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一個數組f[0..V]，能不能保證第i次循環結束后f[v]中表示的就是我們定義的狀態f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主循環中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主循環中我們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]保存的是狀態f[i-1][v-c[i]]的值。偽代碼如下：

for i=1..N

??? for v=V..0? // 當然，這里不一定要循環到0，只需到c[i]即可！

??????? f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相當于我們的轉移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因為現在的f[v-c[i]]就相當于原來的f[i-1][v-c[i]]。如果將v的循環順序從上面的逆序改成順序的話，那么則成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，與本題意不符，但它卻是完全背包背包問題最簡捷的解決方案。

其實，這里的動態規劃就是一張數表，但它卻有著與眾不同的地方，假設用到的是二維數組，那么對數表某一行產生影響的就只有它的上一行，對dp[i][j]產生影響的就只有它同行前面的參數和上一行的參數，所以我們可以用一個一維數組進行記錄，從后到前進行處理。其實這實質上就是動態規劃的最優子結構性質！

轉載于:https://www.cnblogs.com/gcb-1991/archive/2011/04/16/2018484.html

總結

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