7.4.3 矩陣極分解和平方根分解

當矩陣 $A$ 是方陣時

$$\begin{gathered} A=U\Sigma V^T=U{V}^{T}V\Sigma V^T=(U{V}^T)(V\Sigma V^T)=QS \\ Q=U{V}^T是正交矩陣，S=V\Sigma V^T是對稱半正定矩陣， \\ 即對任意向量\mathbf{x}，有{\mathbf{x}}^{T}S\mathbf{x}\ge 0成立，因為對角陣\Sigma 對角元素非負. \\ 又A=U\Sigma V^T=U\Sigma U^{T}U{V}^T=(U\Sigma U^T)(U{V}^T)=KQ \end{gathered}$$

矩陣極分解 任意方陣可分解為 $A=QS$ 和 $A=KQ$ 正交陣和對稱半正定矩陣乘積。
其中 $Q$ 是最接近矩陣 $A$ 的正交矩陣，即 $\Vert Q?A\Vert$ 最小。
對稱半正定矩陣 $S^2=(V\Sigma V^T)(V\Sigma V^T)=V{\Sigma }^2{V}^T=A^{T}A$ ，故 $S=\sqrt{A^{T}A}$ 稱矩陣 $S$ 為對稱半正定矩陣 $A^{T}A$ 的平方根。
同理 $K=\sqrt{A{A}^T}$ 稱矩陣 $K$ 為對稱半正定矩陣 $A{A}^T$ 的平方根。

對稱半正定矩陣平方根分解 任意對稱半正定矩陣可分解為 $S=FF$ ，其中 $F$ 為半正定矩陣。
證：根據對稱矩陣譜分解定理 $S=Q\Lambda Q^T$ ，當 $S$ 是對稱半正定矩陣時，對角陣 $\Lambda$ 對角元素非負。

$$\begin{gathered} S=Q\Lambda Q^T=Q\Sigma \Sigma Q^T=Q\Sigma Q^{T}Q\Sigma Q^T=FF \\ F=Q\Sigma Q^T,\Sigma =\sqrt{\Lambda }=diag(\sqrt{{\lambda }_1},?,\sqrt{{\lambda }_n}) \end{gathered}$$

所以對稱半正定矩陣可以看作是實數中的非負數，有平方根。

對稱半正定矩陣平方根分解還有一種三角分解法，根據高斯消元法得到。

對稱半正定矩陣平方根分解 任意對稱半正定矩陣可分解為 $S=L{L}^T$ ，其中 $L$ 為下三角矩陣，對角元素為負。
證：根據任意方陣的 LDU 分解，有 $S=LDU$ ，其中 $L$ 是下三角單位矩陣，$D$ 是上三角單位矩陣，$D$ 是對角陣。當 $S$ 是對稱半正定矩陣時，有 $U=L^T$，對角陣 $D$ 對角元素非負。
$$\begin{gathered} S=L^{\prime }D{L}^{\prime T}=L^{\prime }\sqrt{D}\sqrt{D}{L}^{\prime T}=L{L}^T \\ L=L^{\prime }\sqrt{D} \end{gathered}$$

$S=L{L}^T$ 稱為 Cholesky 分解。

總結

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