例题：索洛模型——要素支付
生活随笔
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例题：索洛模型——要素支付
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令w=?F(K,AL)/?L,r=[?F(K,AL)/?K]?δw=\partial F(K,AL)/\partial L,r=[\partial F(K,AL)/\partial K]-\deltaw=?F(K,AL)/?L,r=[?F(K,AL)/?K]?δ
- 證明www為A[f(k)?kf′(k)]A[f(k)-kf'(k)]A[f(k)?kf′(k)]
Y=ALf(K/AL)Y=ALf(K/AL)Y=ALf(K/AL)，所以
w=?Y?L=ALf′(k)(?KAL2)+Af(k)=A[f(k)?kf′(k)]w=\frac{\partial Y}{\partial L}=ALf'(k)(-\frac{K}{AL^2})+Af(k)=A[f(k)-kf'(k)]w=?L?Y?=ALf′(k)(?AL2K?)+Af(k)=A[f(k)?kf′(k)] - 證wL+rK=F(K,AL)?δKwL+rK=F(K,AL)-\delta KwL+rK=F(K,AL)?δK
r=?Y?K?δ=?[ALf(K/AL)]?K?δ=f′(k)?δr=\frac{\partial Y }{\partial K}-\delta=\frac{\partial [ALf(K/AL)]}{\partial K}-\delta=f'(k)-\deltar=?K?Y??δ=?K?[ALf(K/AL)]??δ=f′(k)?δ
wL+rK=ALf(k)?ALkf′(k)+Kf′(k)?Kδ=F(K,AL)?δKwL+rK=ALf(k)-ALkf'(k)+Kf'(k)-K\delta=F(K,AL)-\delta KwL+rK=ALf(k)?ALkf′(k)+Kf′(k)?Kδ=F(K,AL)?δK - 均衡增長路徑上www與rrr的增長率多少
因為r=f′(k)?δr=f'(k)-\deltar=f′(k)?δ,δ\deltaδ不變，平衡增長路徑上kkk不變，所以f′(k)f'(k)f′(k)不變，進而rrr也不變。
由w=A[f(k)?kf′(k)]w=A[f(k)-kf'(k)]w=A[f(k)?kf′(k)]，兩邊取對數并求導得
w˙w=A˙A+[f(k)?kf′(k˙)]f(k)?kf′(k)=g+f′(k)k˙?k˙f′(k)?kf′(k)k˙f(k)?kf′(k)=g?kf′(k)k˙f(k)?kf′(k)=g\frac{\dot w}{w}=\frac{\dot A}{A}+\frac{\dot {[f(k)-kf'(k})]}{f(k)-kf'(k)}=g+\frac{f'(k)\dot k-\dot kf'(k)-kf'(k)\dot k}{f(k)-kf'(k)}\\=g-\frac{kf'(k)\dot k}{f(k)-kf'(k)}=gww˙?=AA˙?+f(k)?kf′(k)[f(k)?kf′(k˙?)]?=g+f(k)?kf′(k)f′(k)k˙?k˙f′(k)?kf′(k)k˙?=g?f(k)?kf′(k)kf′(k)k˙?=g
上式最后一步用到了平衡增長路徑上k˙=0\dot k=0k˙=0
總結
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