赤道仪自动寻星方法
????????自動尋星功能可以使赤道儀自動從一個(gè)天體指向另一個(gè)天體,而代替了人工查找坐標(biāo)、旋轉(zhuǎn)赤道儀的工作。在配置好赤道儀所用天體坐標(biāo)星表后,通過一定的方法,可以使得赤道儀具有自動尋星功能。
Ⅰ 定義的一些名詞
1.1 赤道儀零位
????????赤道儀零位指的是使得天文望遠(yuǎn)鏡方便放置時(shí)的赤道儀姿態(tài)。在此文中的赤道儀零位為:赤道儀對準(zhǔn)極軸后,在赤道儀上安放好天文望遠(yuǎn)鏡或其他觀測設(shè)備時(shí),使得該觀測設(shè)備指向北天極、赤道儀赤緯轉(zhuǎn)軸豎直指向中天的赤道儀姿態(tài)。
1.2 赤緯半圓位置
????????在赤道坐標(biāo)系中,天體的赤經(jīng)坐標(biāo)范圍為:0 ~ 24h、赤緯坐標(biāo)范圍為-90 ~ 90°,天體的赤緯坐標(biāo)分布在一個(gè)180°的半圓上,理論上只要赤經(jīng)能夠轉(zhuǎn)動360°、赤緯能夠轉(zhuǎn)動180°,赤道儀即可實(shí)現(xiàn)自動尋星功能。而如果只使用左側(cè)或者右側(cè)的180°半圓進(jìn)行自動尋星,會導(dǎo)致以下幾種主要問題:1.觀測設(shè)備會碰撞赤道儀三腳架,赤道儀應(yīng)避免通過天頂;2.觀測設(shè)備有可能處于赤道儀下方。因此在某些情況下需要分別使用赤緯軸的左右兩個(gè)半圓進(jìn)行自動尋星。當(dāng)赤道儀在零位時(shí),規(guī)定赤道儀使用赤緯軸右側(cè)的半圓作為赤緯運(yùn)動范圍。在下述的自動尋星算法中,赤道儀赤緯右半圓負(fù)責(zé)指向中天東側(cè)的天體;赤道儀赤緯左半圓負(fù)責(zé)指向中天西側(cè)的天體。
Ⅱ 赤道儀自動尋星方法
2.1 當(dāng)?shù)睾阈菚r(shí)與中天赤經(jīng)坐標(biāo)
????????當(dāng)赤道儀自動尋星,在零位的赤道儀需要知道此刻觀測設(shè)備指向的赤經(jīng)、赤緯坐標(biāo)。由1.1的定義,此時(shí)的赤緯坐標(biāo)應(yīng)為90°,而此時(shí)赤道儀使用赤緯軸的右側(cè)半圓范圍作為赤緯范圍進(jìn)行自動尋星,赤經(jīng)坐標(biāo)為該地該時(shí)刻中天位置的赤經(jīng)坐標(biāo)加上6h(如果該坐標(biāo)不在0~24h內(nèi),則需轉(zhuǎn)換到0~24h)。利用天文學(xué)知識推導(dǎo),中天位置的赤經(jīng)在數(shù)值上等于此時(shí)的當(dāng)?shù)睾阈菚r(shí),可以由下式計(jì)算:
其中:
|   符號  |   意義  |   計(jì)算方法  |   單位  | 
|   當(dāng)?shù)亟?jīng)度  |   查閱地圖  |   h、min、sec  | |
|   此刻的北京時(shí)間  |   查閱時(shí)間  |   h、min、sec  | |
|   中天位置的赤經(jīng)坐標(biāo)  |   如上  |   h、min、sec  | |
|   m  |   當(dāng)?shù)仄綍r(shí)  |   h、min、sec  | |
|   當(dāng)日世界時(shí)0h的恒星時(shí)  |   如上  |   h、min、sec  | |
|   M  |   m對應(yīng)的格林尼治平時(shí)  |   h、min、sec  | |
|   常數(shù)  | 1/365.2422 |   1  | |
|   JD  |   當(dāng)日的儒略日  |   略  |   day  | 
|   T  |   中間算符  | (JD-2451545)/36525 |   1  | 
|   常數(shù)  |   6 h 41 m 50.54841 s  |   h、min、sec  | |
|   常數(shù)  |   8640184.812866s  |   h、min、sec  | |
|   常數(shù)  |   0.093104s  |   h、min、sec  | |
|   常數(shù)  |   -0.0000062s  |   h、min、sec  | 
為了便于算法編寫,實(shí)際使用時(shí)需將赤經(jīng)坐標(biāo)(h、min、sec)轉(zhuǎn)換為角度(°),以上描述的計(jì)算過程已經(jīng)被封裝為了C++類,可以在我的天文學(xué)計(jì)算專欄中找到。
2.2 可尋星范圍
????????在自動尋星時(shí),赤道儀存在不可以尋星位置,這些位置包括:1.仰角過高接近中天的天體,觀測這些天體時(shí)會導(dǎo)致觀測設(shè)備碰撞赤道儀三腳架;2.沒有在地平線以上的天體,赤道儀觀測這些天體是沒有意義的。
1 仰角過高的天體
這些天體的赤經(jīng)坐標(biāo)靠近中天,可以利用中天坐標(biāo)求解,這里人為規(guī)定這些天體到中天的赤經(jīng)角距離為:
|   符號  |   意義  |   單位  | 
|   仰角過高的天體到中天的最大角距離  |   °  | 
當(dāng)某天體的赤經(jīng)坐標(biāo)在區(qū)域:
中時(shí),赤道儀不到達(dá)該目標(biāo),并提示操作者重新選取天體。需要說明的是,這里的范圍為角度范圍,而不是真實(shí)的赤經(jīng)坐標(biāo)范圍,需要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換。
2 沒有在地平線以上的天體
????????這些天體的赤經(jīng)、赤緯坐標(biāo)滿足一定規(guī)律,為了分析這一規(guī)律,這里使用當(dāng)?shù)刈游缛Φ拇髨A將天球和地面切開,得到其剖面圖,如圖1(左)所示。
?圖1 幾何關(guān)系
在圖1中,MN代表地平面,y軸為地球極軸,PQ代表某一赤緯坐標(biāo)D下的天球圓,將天球沿PQ剖開,得到了圖1(右)的剖面圖,此時(shí)地平面MN切割圓PMQN,則陰影部分對應(yīng)的弧段上的天體在地平線之下,圖中的Q點(diǎn)即為中天。于是求得圖中的γ角即可得知地平線上的天體滿足的條件。圖中各符號的含義如下:
|   符號  |   意義  |   單位  | 
| D |   天體的赤緯  |   rad  | 
|   觀測地的緯度  |   rad  | |
|   地平線以下天體分布的角位置  |   rad  | |
| R |   天球半徑  |   m  | 
于是圖中存在幾何關(guān)系:
立即可以得到:
進(jìn)而:
于是對于任意赤緯,在地平線之上的天體所分布的赤經(jīng)角度大小可以表示為如下的函數(shù):
對應(yīng)的可尋星赤經(jīng)角度范圍為:
即在該區(qū)域內(nèi)的天體都在地平線之上。當(dāng)目標(biāo)天體不在這些范圍內(nèi)時(shí),赤道儀不到達(dá)該目標(biāo),并且提醒操作者更換目標(biāo)。需要說明的是,這里的范圍為角度范圍,而不是真實(shí)的赤經(jīng)坐標(biāo)范圍,需要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換。
2.3 赤經(jīng)角坐標(biāo)與赤經(jīng)時(shí)間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換
????????為了便于算法的編寫與實(shí)現(xiàn),將標(biāo)準(zhǔn)赤經(jīng)坐標(biāo)(單位為:h、min、s,用RA表示)轉(zhuǎn)換為角度大小(單位為:°,用R表示),其轉(zhuǎn)換方法為:
在某些時(shí)刻,需要計(jì)算的赤經(jīng)距離不在0~360°之間,由于赤經(jīng)坐標(biāo)的周期性,可以通過加減360°的整數(shù)倍(n×360°,n = ±1,±2,......)將赤經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化在0~360°之間。這里將其表示為函數(shù):
為了便于后續(xù)討論,繼續(xù)引入函數(shù):
表示兩天體之間最短赤經(jīng)角距離。
2.4 自動尋星算法實(shí)現(xiàn)
????????由于赤經(jīng)坐標(biāo)不是連續(xù)的,因此必有赤經(jīng)軸坐標(biāo)零點(diǎn)(RA = 24h或RA = 0h)存在,且零點(diǎn)的位置由中天赤經(jīng)坐標(biāo)決定,零點(diǎn)分布在不同位置時(shí),赤道儀從一個(gè)天體到目標(biāo)天體的角度計(jì)算方法亦不同,有些情況下不能直接將兩個(gè)天體的赤經(jīng)坐標(biāo)(赤緯坐標(biāo))相減得到赤道儀赤經(jīng)軸(赤緯軸)的運(yùn)行角度,因此需要討論零點(diǎn)的存在位置。這里需要說明的是,以下的討論均不考慮2.2的兩個(gè)情況,即默認(rèn)赤道儀可以到達(dá)所有位置。
2.4.1 天體位置的圖像表示與自動尋星系統(tǒng)總體目標(biāo)
1??赤經(jīng)位置的圖像表示
????????自動尋星主要考慮的是赤道儀赤經(jīng)軸的轉(zhuǎn)動,為了便于求解,將天體赤經(jīng)繪制在一個(gè)整圓上,并在其中繪制出赤道儀此時(shí)的位置以及赤道儀即將到達(dá)的目標(biāo)位置,如圖2所示。圖中各點(diǎn)的意義為:
|   點(diǎn)  |   意義  | 
| A |   赤道儀當(dāng)前指向的天體的赤經(jīng)位置  | 
| B |   赤道儀目標(biāo)點(diǎn)的天體的赤經(jīng)位置  | 
| G |   正西方向  | 
| H |   正東方向  | 
| P |   與天頂相對的點(diǎn)  | 
| Q |   天頂或中天、當(dāng)?shù)刈游缛?#xff0c;此點(diǎn)的赤經(jīng)坐標(biāo)為Rz  | 
|   赤經(jīng)坐標(biāo)零點(diǎn)  | 
該圖可以理解為從北天極往赤道儀所在赤緯的小圓觀察,赤道儀赤經(jīng)軸的轉(zhuǎn)動區(qū)域。
?圖2 赤經(jīng)位置的圖像表示
2 赤緯位置的圖像表示
????????由上述討論,赤道儀工作的赤緯范圍分為左半圓和右半圓,即赤緯正方向會處于不同的半圓,因此赤緯坐標(biāo)圖像需要能分別描述赤道儀赤緯左半圓和右半圓的位置,如圖3所示。
?圖3 赤緯位置的圖像表示
圖中各點(diǎn)的意義為:
|   點(diǎn)  |   意義  | 
| A |   赤道儀當(dāng)前指向的天體的赤緯位置  | 
| B |   赤道儀目標(biāo)點(diǎn)的天體的赤緯位置  | 
| E |   赤道儀工作半圓為右半圓時(shí)的赤經(jīng)0°  | 
| F |   赤道儀工作半圓為左半圓時(shí)的赤經(jīng)0°  | 
| M |   赤緯90°(左右半圓均相同)  | 
| N |   赤緯-90°(左右半圓均相同)  | 
3 自動尋星系統(tǒng)的總體目標(biāo)
????????自動尋星理論上可以尋找到任何坐標(biāo)的天體,但是某些天體的位置不利于自動尋星,如未在地平線以上、仰角過高的天體,這些天體約束了自動尋星的可行范圍。在自動尋星時(shí),需要避開赤道儀赤緯工作半圓通過天頂,因此需要分情況討論出發(fā)天體和目的地天體的位置,在這些位置規(guī)劃合理路徑以避免赤道儀通過中天。
2.4.2 當(dāng)前天體與目標(biāo)天體位置討論與角度計(jì)算
1 相關(guān)函數(shù)及其實(shí)現(xiàn)
在本節(jié),將會給出上述討論中使用到的函數(shù)。
1) 將角度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換在0~360°之間的函數(shù):T(θ)
????????該函數(shù)的實(shí)現(xiàn)可由程序循環(huán)實(shí)現(xiàn),在程序中可以使用while循環(huán)實(shí)現(xiàn),當(dāng)角度不滿足要求時(shí)則繼續(xù),具體方式如下:
?2) 求得兩個(gè)赤經(jīng)軸坐標(biāo)點(diǎn)之間的最短赤經(jīng)角距離的函數(shù):L(P1,P2)
????????只要赤經(jīng)軸上的兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)不相對,則他們之間的最短距離必定為劣弧圓心角,可以利用程序?qū)崿F(xiàn),具體方法如下:
?2 當(dāng)前天體與目標(biāo)天體位置討論以及赤道儀運(yùn)行角度計(jì)算
????????赤道儀運(yùn)行角度的計(jì)算方法主要取決于當(dāng)前天體和目標(biāo)天體相對于中天的位置,這里首先將天體坐標(biāo)表示為符號:
|   符號  |   意義  |   單位  | 
|   當(dāng)前天體和目標(biāo)天體的赤經(jīng)坐標(biāo)  |   rad  | |
|   當(dāng)前天體和目標(biāo)天體的赤緯坐標(biāo)  |   rad  | |
|   當(dāng)前天體和目標(biāo)天體  |   無  | |
|   位于天頂?shù)募傧胩祗w  |   無  | 
于是這些位置由以下這些情況組成:
1) 當(dāng)前天體與目標(biāo)天體均在中天左側(cè)
?????????這種情況如圖所示,此時(shí)如果赤道儀工作半圓與當(dāng)前天體(圖中A點(diǎn))所在位置同名(即赤道儀工作半圓為左邊、A如圖所示在中天左側(cè))
|   圖 赤經(jīng)軸角度關(guān)系  |   圖 赤緯軸角度關(guān)系  | 
?則易得運(yùn)行角度:
|   赤道儀轉(zhuǎn)軸  |   運(yùn)行角度  |   單位  | 
|   赤經(jīng)軸  |   rad  | |
|   赤緯軸  |   rad  | 
2) 當(dāng)前天體在中天左側(cè),目標(biāo)天體在中天右側(cè)
|   圖 赤經(jīng)軸角度關(guān)系  |   圖 赤緯軸角度關(guān)系  | 
這種情況如上圖所示,當(dāng)當(dāng)前天體所在半圓位置和赤道儀赤緯軸工作半圓同名時(shí),此時(shí)需要更改赤緯軸運(yùn)行半圓,對應(yīng)的赤經(jīng)軸坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)跳動180°,故該種情況下的運(yùn)行角度:
|   赤道儀轉(zhuǎn)軸  |   運(yùn)行角度  |   單位  | 
|   赤經(jīng)軸  |   rad  | |
|   赤緯軸  |   rad  | 
3) 當(dāng)前天體在中天右側(cè),目標(biāo)天體在中天左側(cè)
|   圖 赤經(jīng)軸角度關(guān)系?  |   圖 赤緯軸角度關(guān)系  | 
?這種情況和情況(2)類似,其運(yùn)行角度如下:
|   赤道儀轉(zhuǎn)軸  |   運(yùn)行角度  |   單位  | 
|   赤經(jīng)軸  |   rad  | |
|   赤緯軸  |   rad  | 
4) 當(dāng)前天體與目標(biāo)天體均在中天右側(cè)
|   圖 赤經(jīng)軸角度關(guān)系  |   圖 赤緯軸角度關(guān)系  | 
?這種情況下運(yùn)行角度可以直接計(jì)算得:
|   赤道儀轉(zhuǎn)軸  |   運(yùn)行角度  |   單位  | 
|   赤經(jīng)軸  |   rad  | |
|   赤緯軸  |   rad  | 
2.4.3 赤道儀轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動方向
上述的角度求解過程中,角度的正負(fù)號已經(jīng)做出了區(qū)分,可以直接求其計(jì)算結(jié)果(無論正還是負(fù)),并根據(jù)下表的描述判斷赤道儀的轉(zhuǎn)動方向:
|   角度正負(fù)  |   赤道儀旋轉(zhuǎn)方向  | 
|   赤經(jīng)增加的方向  | |
|   赤經(jīng)減少的方向  | |
|   在赤緯該工作半圓下,使得赤緯增加的方向  | |
|   在赤緯該工作半圓下,使得赤緯減少的方向  | 
2.4.4 異常情況處理與中天翻轉(zhuǎn)
????????????????在赤道儀自動尋星過程中,存在上述算法沒有考慮到的情況,當(dāng)赤道儀的工作半圓與當(dāng)前天體所在的位置半圓不同名時(shí),利用上述算法會導(dǎo)致嚴(yán)重后果,赤經(jīng)軸轉(zhuǎn)動方向和赤緯軸轉(zhuǎn)動方向異常,此時(shí)需要判斷赤道儀的工作半圓和天體位置半圓是否同名;在導(dǎo)星時(shí),當(dāng)目標(biāo)天體經(jīng)過中天后,天體高度角會下降,而望遠(yuǎn)鏡會慢慢移動到赤道儀下方,因此該情況下,同上一種情況,需要判斷天體位置半圓與赤經(jīng)軸半圓是否同名,而后翻轉(zhuǎn)赤緯軸工作半圓即可。
1.赤經(jīng)軸半圓與赤緯工作半圓不同名?
????????為了保證運(yùn)行的可靠性,在每次自動尋星計(jì)算角度之前,需要判斷這兩個(gè)值是否同名,即在2.4.2節(jié)的計(jì)算開始前加入判斷環(huán)節(jié),而后進(jìn)行角度計(jì)算,當(dāng)天體赤經(jīng)位置與赤道儀赤緯工作半圓E不同名時(shí),需要讓赤經(jīng)軸通過中天而不翻轉(zhuǎn)赤緯軸工作半圓。該算法可以表示為流程圖:
2.導(dǎo)星中天翻轉(zhuǎn)
????????為了完成這個(gè)算法,需要計(jì)算的是赤道儀觀測的當(dāng)前位置是否通過中天,如果通過中天且赤緯軸工作半圓與天體所在半圓不同名則立即執(zhí)行中天翻轉(zhuǎn),而后重新開始導(dǎo)星,中天翻轉(zhuǎn)的方式如下:
|   步驟  |   內(nèi)容  | 
|   STEP1  |   得到當(dāng)前赤道儀指向位置赤經(jīng)坐標(biāo)并對當(dāng)前視場拍照  | 
|   STEP2  |   預(yù)估赤道儀運(yùn)行時(shí)間,求得該時(shí)間內(nèi)天體漂移角度φ  | 
|   STEP3  |   赤經(jīng)軸向赤經(jīng)增加的方向運(yùn)轉(zhuǎn)180°- φ(需要加入誤差曲線)  | 
|   STEP4  |   赤緯工作半圓翻轉(zhuǎn),赤緯增加運(yùn)轉(zhuǎn)180°- 2×D(需要加入誤差曲線)  | 
|   (STEP5)  |   提醒操作者核對位置是否與拍照時(shí)的位置相同  | 
2.5 自動尋星誤差曲線擬合與多星校準(zhǔn)
 ????????在自動尋星時(shí),由于赤道儀的誤差,其自動尋星是不精準(zhǔn)的,這些誤差有可能但不限于以下幾點(diǎn):1.赤經(jīng)軸、赤緯軸存在制造誤差,正向運(yùn)動和反向運(yùn)動的角度誤差大小不同;2.極軸校準(zhǔn)不精確,赤經(jīng)赤緯運(yùn)行后存在偏差;3.赤道儀運(yùn)行過慢,赤道儀運(yùn)行指定角度過后星點(diǎn)位置已經(jīng)偏移。
????????為了解決上述的誤差問題,在本文中利用最小二乘法對誤差曲線方程進(jìn)行多元線性回歸,求得誤差曲線參數(shù)的最大似然估計(jì)值。
2.5.1 誤差曲線
????????由以上推論,赤道儀的誤差與運(yùn)行角度相關(guān)、所以誤差的表達(dá)式中必定有運(yùn)行角度,且必定包含一次項(xiàng);其次,赤道儀運(yùn)行時(shí)間與星點(diǎn)漂移時(shí)間差正比于赤道儀運(yùn)行角度的平方,因此誤差表達(dá)式中應(yīng)該包含二次項(xiàng);最后,赤道儀存在角度最小誤差,以及零位誤差,因此表達(dá)式中應(yīng)該包含常數(shù)項(xiàng)。于是赤道儀的誤差曲線可以表示成如下形式:
兩個(gè)轉(zhuǎn)軸應(yīng)當(dāng)分別有一個(gè)誤差曲線。
2.5.2 誤差曲線擬合、三星校準(zhǔn)與多星校準(zhǔn)
????????為了得到誤差曲線中的參數(shù),至少需要得到3組運(yùn)行角度值與其對應(yīng)的3組誤差值,其中赤經(jīng)軸的運(yùn)行角度值為2.4節(jié)中所述的帶符號的運(yùn)行角度,對于赤緯軸,規(guī)定:當(dāng)赤緯軸的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針時(shí),角度為正;反之角度為負(fù)。在求取誤差曲線之前,應(yīng)當(dāng)配置一個(gè)坐標(biāo)精準(zhǔn)的校準(zhǔn)星表,以觀測設(shè)備顯示屏幕的正中心(視場中央)為正確位置,赤道儀分別開環(huán)運(yùn)行到達(dá)不同的校準(zhǔn)恒星,操作人員在赤道儀運(yùn)行結(jié)束后微調(diào)赤道儀使得目標(biāo)恒星位于視場中央,此時(shí)算法記錄操作人員微調(diào)赤道儀兩個(gè)轉(zhuǎn)軸的角度,作為該次的誤差角度。該過程的結(jié)果如下所示:
|   測試次數(shù)  |   赤經(jīng)軸運(yùn)行角度  |   赤緯軸運(yùn)行角度  |   赤經(jīng)軸的誤差  |   赤緯軸的誤差  | 
|   1  | ||||
|   2  | ||||
|   3  | ||||
|   ...  |   ...  |   ...  |   ...  |   ...  | 
|   n  | 
在得到上述的數(shù)據(jù)后求解誤差曲線的各個(gè)參數(shù),分為兩種情況:
1) 測量次數(shù)為3組
此時(shí)可以直接求解出誤差曲線的3個(gè)參數(shù),即三星校準(zhǔn):
?2) 測量次數(shù)大于3組
以赤經(jīng)軸為例,此時(shí)的誤差計(jì)算等式變?yōu)?#xff1a;
方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)個(gè)數(shù),故該方程組為超定方程組,三個(gè)常系數(shù)存在最小二乘解,即多星校準(zhǔn):
需要指出的是,該種方法為一種開環(huán)方案,精度無法得到保證,可以通過圖像識別進(jìn)行閉環(huán)控制,得到更加精準(zhǔn)的自動尋星方案。當(dāng)?shù)玫缴鲜龅娜齻€(gè)參數(shù)之后,在每次自動尋星時(shí)赤道儀運(yùn)行的角度應(yīng)當(dāng)為:
文中提到的自動尋星角度控制、三星校準(zhǔn)與多星校準(zhǔn)方法可能并非一般赤道儀使用的方法,只是筆者對這些算法的猜想,筆者的這些算法均按照上文的論述實(shí)現(xiàn),如有錯(cuò)誤望海涵。
------ Shixuan Liu
2022.12.12
總結(jié)
                            
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