5. 留數

目錄5. 留數5.1 孤立奇點5.2 留數5.3 留數在定積分計算中的應用5.4 復變函數奇點類型的判定

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首先說明一下為什么會有留數？

對于圖中的這樣一個積分路徑，由于內部區域不完全解析。所以根據柯西積分定理，我們可以將其轉化為下圖的積分路徑：

當通往奇點的兩條路線無限接近時，就可以得到下圖：

即對于大回路的積分等于對所有奇點的路徑的積分之和的相反數。即：

[oint_L = oint_{L_1^-+L_2^-+L_3^-}
]

所以問題變成了如何求對于奇點的路徑的積分(oint_Lf(z)dz)

由上一章的洛朗級數知，洛朗級數在冪次為-1項的系數為

[c_{-1} = frac1{2pi i}oint_Cfrac{f(zeta)}{(zeta-z_0)^{-1+1}}dzeta = frac1{2pi i}oint_Cf(zeta)dzeta
]

由于這個系數很有用，所以專門稱復變函數在某一點的洛朗級數展開式的冪次為-1的項的系數為留數。記作(mathcal{Res}[f(z),z_0])

所以就可以提前給出留數定理，對于正向閉合路徑C，如果其所圍區域內除了有限個孤立奇點(z_1,z_2,cdots,z_k)外處處解析，則有

[oint_Cf(z)dz = 2pi isum_{k=1}^nmathcal{Res}[f(z),z_k]
]

所以留數定理本質上是對于柯西積分定理的應用。

5.1 孤立奇點

5.1.1 解析函數的孤立奇點及分類

若函數f(z)在(z_0)的鄰域內除(z_0)外處處解析，則稱(z_0)為f(z)的一個孤立奇點。

根據洛朗級數的定理，我們可以將f(z)展開成洛朗級數

[f(z) =cdots+ a_{-m}(z-z_0)^{-m} + cdots+ a_0 + a_1(z-z_0) + cdots + a_n(z-z_0)^n,zin D
]

如果上式中的負冪項系數均為零，若記剩下的冪級數的和函數為F(z)，則F(z)是在(z_0)處解析的函數。且當(zin D)時，F(z)=f(z)，當(z=z_0)時，(F(z) = a_0)。于是令(f(z_0) = a_0)，所以f(z)在(z_0)處就是解析的了，所以點(z_0)被稱為可去奇點。
如果上式只有有限個((z-z_0))的負冪項的系數不為零，那么孤立奇點(z_0)稱為函數f(z)的極點。如果負冪項的最高次冪為((z-z_0)^{-m})，則稱(z_0)為函數f(z)的m階極點。
如果((z-z_0))的負冪項系數有無窮多個不為零，那么孤立奇點(z_0)稱之為f(z)的本性奇點。

5.1.2 解析函數在有限孤立奇點的性質

定理：設函數f(z)在(0<|z-z_0|<delta)內解析，則(z_0)是f(z)的可去奇點的充要條件為：存在著有限極限(lim_{zightarrow z_0}f(z)).

定理：設函數f(z)在(0<|z-z_0|<delta)內解析，則(z_0)是f(z)的極點的充要條件為：(lim_{zightarrow z_0}f(z) = infty).

定理：設函數f(z)在(0<|z-z_0|<delta)內解析，則(z_0)是f(z)的本性奇點的充要條件為：不存在有限或無窮的極限(lim_{zightarrow z_0}f(z)).

如(e^{frac1z})在z=0處為本性奇點，因為其展開成洛朗級數后有無窮多個負冪項不為0

5.1.3 函數的零點與極點的關系

設函數f(z)在(z_0)的鄰域(N(z_0,delta)={z:|z-z_0|<delta })內解析，并且(f(z_0)=0)，則點(z_0)稱為f(z)的一個零點。

m階零點

不恒等于零的解析函數f(z)如果能夠表示成(f(z) = (z-z_0)^mvarphi(z))，其中(varphi(z))在(z_0)處解析且(varphi(z)
e 0)，m為某一正整數，則(z_0)為f(z)的m級零點。

定理：f(z)在點(z_0)處解析，則(z_0)是f(z)的m階零點的充要條件為：(f(z_0) = f^{'}(z_0) = f^{(m-1)}(z_0) = 0,f^{m}(z_0)
e 0)

解析函數的零點與極點，有下面的關系

定理：(z_0)是f(z)的m階極點的充要條件是：(z_0)是(frac1{f(z)})的m階零點。

應當注意的是，我們在求函數的奇點時，決不能只看函數的表面形式就做出判斷，如函數((cos z-1)/z^4)，看起來z=0是它的四階奇點，實際將cos z展開后是二階奇點。

例：判斷函數(f(z) = frac{sin z}{z^2(1-e^z)})在(z=0)是幾階極點。

提示：將(1-e^z)和(sin z)展開

5.1.4 解析函數在無窮孤立奇點的性質

若函數f(z)在域D：(R<|z|<+infty(R>0))內解析，則稱為(z=infty)為f(z)的一個孤立奇點。

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5.2 留數

5.2.1 留數的定義和計算規則

定義：設函數f(z)在(z_0)點的去心鄰域內解析，(z_0)是f(z)的孤立奇點，則f(z)在孤立奇點(z_0)的留數定義為

[frac1{2pi i}oint_Cf(z)dz
]

記作(Res[f(z),z_0])，C是包含在鄰域內的圍繞(z_0)的任何一條正向簡單閉曲線。留數的本質還是一個柯西積分。

若(z=infty)是f(z)的孤立奇點，則定義在(z=infty)處的留數為

[Res[f(z),infty] = -frac1{2pi i}oint_Cf(z)dz
]

留數的計算定理：如果(z_0)是f(z)的m階極點，則

[Res[f(z),z_0] = frac1{(m-1)!}lim_{zightarrow z_0}frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}{(z-z_0)^mf(z) }
]

要求留數，即求洛朗級數的系數(a_{-1})

推論：設(f(z) = P(z)/Q(z))，(P(z))及(Q(z))在(z_0in C)點解析，如果(P(z_0)
e 0,Q(z_0)=0,Q'(z)
e0)，那么(z_0)為(f(z))的一階極點，且

[mathcal{Res}[f(z),z_0] = frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}
]

若(z_0)是(f(z))的本性奇點，則(mathcal{Res}[f(z),z_0] = a_{-1})。

若(z=infty)是(f(z))的孤立奇點，則

[Res[f(z),infty] = -Res[f(frac1z)frac1{z^2}, 0]
]

5.2.2 留數的基本定理

對于正向閉合路徑C，如果其所圍區域內除了有限個孤立奇點(z_1,z_2,cdots,z_k)外處處解析，則有

[oint_Cf(z)dz = 2pi isum_{k=1}^nmathcal{Res}[f(z),z_k]
]

推廣的留數基本定理：如果函數f(z)在擴充的復平面內只有有限個孤立奇點，那么f(z)在各孤立奇點（包括(infty)點）的留數之和等于0。

利用該定理，當所求留數的區域內有多個極點時，可以直接求無窮遠處的留數值，則其他點的留數之和就等于無窮遠的留數值之和。

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5.3 留數在定積分計算中的應用

為了求實函數f(x)在實軸上或實軸上的某一線段I上的積分，我們在I上適當附加某一曲線使其構成一簡單閉曲線C，其內部為D，選取適當函數F(z)，然后在(overline D)上對F(z)應用留數定理，就能把實軸上f(x)的積分轉換為F(z)在D內基地那的留數與附加曲線的積分。

5.3.1 形如(int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta)的積分

這類積分可以化為單位圓周上的復積分，設(z = e^{i heta})，則

[cos heta = frac{e^{i heta} + e^{-i heta}}2 = frac12(z+frac1z)\
sin heta = frac1{2i}(z-frac1z)\
d heta = frac1{iz}dz
]

于是

[int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta = oint_{|z|=1}R(frac1{2i}(z-frac1z),frac1{2}(z+frac1z))frac1{iz}dz
]

令

[F(z) = frac1{iz}R[frac1{2i}(z-frac1z),frac12(z+frac1z)]
]

則由留數的基本定理知

[int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta = 2pi isum^n_{k=1}Res[F(z),a_k]
]

5.3.2 形如(int_{-infty}^{+infty}R(x)dx)的積分

當被積函數R(x)是x的有理函數，而分母的次數至少比分子的次數高二次，并且R(x)在實軸上沒有奇點時。若設R(z)在上半平面(Im z>0)的極點為(a_1,a_2,cdots,a_p)，則

[int_{-infty}^{+infty}R(x)dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z),a_k]
]

證明過程略

當(R(x))為偶函數時，有

[int_0^{+infty}R(x)dx = pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z),a_k]
]

注意只考慮上半平面的極點。

5.3.3 形如(int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx)的積分

當被積函數R(x)是x的有理函數，而分母次數至少比分子的高一次，并且R(x)在實軸上沒有奇點時，積分是存在的。同樣，若設R(z)在上半平面內的極點為(a_1,a_2.cdots,a_p)，則

[int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z)e^{iaz},a_k]
]

證明過程略。

5.3.4 它類

在前幾類積分中，都要求函數在實軸上無奇點，對不滿足這個條件的積分，往往適當改變積分路徑也可以使得積分可求。

當被積函數R(x)是x的有理函數，而分母次數至少比分子的高一次。設R(z)在實軸上除去有限多個一階極點(x_1,x_2,cdots,x_q)外處處解析。在上半平面內除去有限多個奇點(z_1,z_2,cdots,z_p)外處處解析，則積分存在且

[int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z)e^{iaz},z_k] + pi isum^q_{k=1}mathcal{Res}[R(z)e^{iaz},x_k]
]

證明過程略

以上四種方法都是采用了圍道積分法，即將實函數的定積分轉化為解析函數沿閉合路徑的積分，然后運用留數定理轉化為留數的計算。

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5.4 復變函數奇點類型的判定

5.4.1 奇點類型的判斷

首先根據計算極限的方法判斷是三種奇點的哪一種。可去奇點的極限有限，本性奇點的極限不存在。大部分情況都是極點。

5.4.2 極點階數的判斷

計算當分母乘上幾階的(z)后計算出來的極限不為(infty)。如判斷下面這個函數的極點類型

[frac{e^zcdotsin z}{z^2}
]

則有

[lim_{zightarrow0}zcdotfrac{e^zcdotsin z}{z^2} = lim_{zightarrow0}frac{sin z}z = 1
einfty
]

上面的極限乘上一階(z)極限就不為(infty)了，說明是一階極點。

利用零點階數進行判斷

前面講過零點和極點有這樣一個關系：

函數(f(z))在(z_0)的m階零點，就是函數(frac1{f(z)})在(z_0)處的m階極點。

還有一點是分子上的零點階數或極點階數可以與分母上的“抵消”，還是上面那個例子。

(e^zcdotsin z)在0處是1階零點，(z^2)在0處是2階零點。兩者抵消后(z^2)還有一階零點。

現在(z^2)在分母，所以分母上有一階零點，說明整個函數有一階的極點。所以該函數在0處是一階極點。

其他類型函數的判斷

極限不存在的函數在(z_0)一定是本性奇點，但是極限為(infty)不能完全判斷是極點還是本性奇點，這點尤其適用與非冪級數構成的函數。

如

[e^{frac z{1-z}}
]

在(z=1)時，極限為正無窮，但是不是極點。

因為，如果將函數按照

[e^z = sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}
]

進行展開

[e^{frac z{1-z}} = sum_{n=0}^{infty}frac1{n!}frac{z^n}{(1-z)^n}
]

所以在(z=1)處的負冪項系數是有無窮多個不為0的，所以是本性奇點。

所以對于不好判斷的函數，可以考慮將函數進行泰勒級數展開。

常見的泰勒展開有：

[egin{aligned}
&e^z = sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}\
&frac1{1-z} = sum_{n=0}^{infty}z^n \
&sin z = sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\
&cos z = sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{z^{2n}}{(2n)!}
end{aligned}
]

以及這些函數進行加減乘除、微分、積分運算得到的級數展開。

展開便可直接觀察負冪項系數的個數，那個才是判斷三種奇點類型的根本依據。

無窮遠點處奇點的判斷

對于無窮遠點處的奇點，通常不好直接判斷。可令

[t = frac1z
]

將t代入后就可以轉化為對(g(t))在(t=0)處奇點的判斷。

如判斷下列函數在無窮遠點的性質

[frac{z^6}{(z^2-3)^2cosfrac1{z-2}}
]

有時候需要進行泰勒級數的展開，如

[frac1{e^z-1}-frac1z=frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}=frac{-sum_{n=2}^{infty}frac{z^n}{n!}}{sum_{n=1}^{infty}frac{z^{n+1}}{n!}} = -frac12
]

自變量為函數的復變函數

求下面函數在復平面的奇點

[sinleft[frac1{sinfrac1z} ight]
]

對于這樣的復雜的函數，可以令

[omega = sinfrac1z
]

然后只要分析函數(sinfrac1z)，該函數只有在(z=0)一個本性奇點。所以使

[sinfrac1z = 0
]

的奇點均為本性奇點，which are (z = frac1{kpi})

我愿瀟灑如鷹，遠離地上宿命

總結

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