微分方程

一、微分方程的基本概念

1.凡表示未知函數(shù)，未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程叫做微分方程。
2.最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階。
3.通解：微分方程的解中含有任意常數(shù)，且常數(shù)個數(shù)與方程階數(shù)相同。

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二、可分離變量微分方程
1.可分離變量微分方程：含x，y的項(xiàng)，可以分別寫在等號兩側(cè)，然后進(jìn)行反導(dǎo)。

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三、齊次方程
1.一階微分方程： $\frac{dy}{dx}$=φ($\frac{y}{x}$)，或者可化為這種形式的方程稱為齊次方程。
設(shè)u=$\frac{y}{x}$，所以說y=ux,$\frac{dy}{dx}$=u+x($\frac{du}{dx}$)
帶入原函數(shù)可計算
最后再將u用x,y替換回來。

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四、一階線性微分方程
1.一階線性微分方程：$\frac{dy}{dx}$+$P_x$y=$Q_x$
若$Q_x$=0,則方程為齊次的，反之為非齊次的。
2.非齊次方程求解：
　　　①先求出對應(yīng)齊次線性方程的解。
　　　②然后設(shè)常數(shù)項(xiàng)C為$u_x$。
　　　③然后將u代入y，求出y’。
　　　④將y與y’代入題方程中變換得出u。
　　　⑤再將u代入齊次方程解中得出非其次方程解。

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五、可降階的高階微分方程
1.y⁽ⁿ⁾=f(x)型：
此類型沒什么特殊的，一階一階求積分即可。

2.y’’=f(x,y’)型（不含y）：
設(shè)y’=P
$\therefore$y’’=P’
方程變成了一階微分方程，求解，再進(jìn)行替換即可。

3.y’’=f(y,y’)型（不含x）：
設(shè)y’=P
$\therefore$y’’=P$\frac{dP}{dy}$
代入原方程，積分…即可

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六、高階線性微分方程
二階齊次線性方程：y’’+P(x)y’+Q(x)y=0
定理一：如果函數(shù)$y_1$(x)與$y_2$(x)是該方程的解，那么
　　　　y=$C_1$$y_1$(x)+$C_2$$y_2$(x)
　　　　也是其解。
　　　　
定理二：如果$y_1$(x)與$y_2$(x)是方程的兩個線性無關(guān)的特解，那么
　　　　y=$C_1$$y_1$(x)+$C_2$$y_2$(x)
　　　　也是方程通解。
　　　　
定理三：設(shè)y^*是二階非齊次線性方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的一個特解
　　　Y（x）是對應(yīng)齊次方程的通解，則y=Y(x)+y^*(x)
　　　也是二階非齊次線性方程的通解。
　　　
定理四：設(shè)非其次線性方程右端f(x)是兩個函數(shù)之和，即
　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y=$f_1$(x)+$f_2$(x)
　　　而$y_1$^*(x)與$y_2$^*(x)分別是方程
　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y=$f_1$(x)與
　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y=$f_2$(x)的特解
　　　則$y_1$^*(x)+$y_2$^*(x)是原方程的特解

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七、常系數(shù)齊次線性微分方程
1.對應(yīng)y=0,y’=r,y’’=r²

特征方程r²+pr+q=0的兩根r1,r2通解

不等實(shí)根	y=$c_1$ e(r1x)+ $c_2$ er2x
相等實(shí)根	y=($c_1$+$c_2$x)er1x
共軛復(fù)根r1,2=α±βi	y=eαx($c_1$cosβx+$c_2$sinβx)

特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項(xiàng)

單實(shí)根r	給出一項(xiàng)：Cerx
一對單復(fù)根r1,2=α±βi	給出兩項(xiàng)：eαx($C_1$cosβ+$C_2$sinβ)
k重實(shí)根r	給出k項(xiàng)：erx($C_1$+$C_2$x+…+$C_k$xk-1)
一對k重實(shí)根r1,2=α±βi	給出2k項(xiàng)：eαx[($C_1$+$C_2$x+…+$C_k$xk-1)]cosβx+（$D_1$+$D_2$x+…+$D_k$xk-1sinβx）

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第八章：常系數(shù)非齊次線性微分方程
一般形式：y’’+py’+qy=f(x)
1.f(x)=e^λx$P_x$(x)型：

（i）如果λ不是特征方程r²+pr+q=0的根，即λ²+pr+q≠0，則設(shè)$R_m$(x)=$b_0$ x^m + $b_1$ x^m-1 + … + $b_m$${}_{?}$${}_1$ x + $b_m$
　
　　(ii)如果λ是特征方程得單根，即λ²+pr+q=0,但2λ+p≠0，則設(shè)R(x)=x$R_m$(x) [用同樣的方法確定$R_m$(x)的系數(shù)$b_i$]
　　
　　(iii)如果λ是特征方程r²+pr+q=0的重根，即λ²+pr+q≠0，且2λ+p=0 ，則設(shè)R(x)=$x^2$$R_m$(x) [用同樣的方法確定$R_m$(x)的系數(shù)$b_i$]

綜上:
　　如果f(x)=e^λx$P_x$(x),那么二階常系數(shù)非齊次線性微分方程具有形如：y*=$x^k$$R_m(x)$e^λx,其中k按是不是特征方程的解取值依次為0,1,2.

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2. f(x)=e^λx[$P_l$(x)$\cos \omega$x+$Q_n$(x)$\sin \omega$x]
　直接結(jié)論：
　　設(shè)特解為：y*=x^Ke^λx[$R_m^1$(x)$\cos \omega$x+$R_m^2$(x)$\sin \omega$x]
　　· 其中$R_m^1$(x)，$R_m^2$(x)是m次多項(xiàng)式（$R_m$(x)=$b_0$ x^m + $b_1$ x^m-1 + … + $b_m$${}_{?}$${}_1$ x + $b_m$），m=max { l,n }.【l,n為三角函數(shù)前所跟x的多少次方】
　　· k按λ+ωi（或λ-ωi）不是特征方程的根，是特征方程的根依次取0或1
　　
求特解步驟：
①寫出對應(yīng)齊次方程。
②變成特征方程。
③計算λ或 { λ+ωi (λ-ωi) ｝是不是特征方程的根，設(shè)出特解y*。
④計算出y’,y’'代入題中原方程。
⑤待定系數(shù)法求出未知數(shù)，得出微分方程特解。
⑥求通解的話，再加上對應(yīng)齊次方程通解即可

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總結(jié)

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