第一封信：為何學(xué)數(shù)學(xué)？

親愛的梅格!

或許如你所預(yù)期，得知你考慮攻讀數(shù)學(xué)時(shí)，我非常高興。不只是因?yàn)閿?shù)個(gè)夏天前，你用數(shù)星期反復(fù)閱讀《時(shí)間的皺紋》（A Wrinkle in Time）的時(shí)間并未白費(fèi)，同時(shí)也不枉我費(fèi)心對(duì)你解釋超立方體和高維空間。我不依順序回答你的問題，先回答其中最實(shí)際的問題：除了我以外，有誰真的靠數(shù)學(xué)維生？

這個(gè)問題的答案和許多人所想的不一樣。我所服務(wù)的大學(xué)在幾年前對(duì)校友進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在種種學(xué)位之中，有數(shù)學(xué)學(xué)位的人平均收入最高。需要提醒你的是，雖然這是在他們成立醫(yī)學(xué)院之前的事，但至少駁倒一項(xiàng)謬論：學(xué)數(shù)學(xué)的人無法擁有高收入的工作。

事實(shí)是我們每天到處都可遇到數(shù)學(xué)家，只是很難察覺而已。我過去的學(xué)生有的管理釀酒廠、創(chuàng)立他們自己的電子公司、設(shè)計(jì)汽車、編寫計(jì)算機(jī)程序和在股票市場(chǎng)交易期貨，我們幾乎從未認(rèn)識(shí)到銀行經(jīng)理或許擁有數(shù)學(xué)學(xué)位，發(fā)明和制造DVD和MP3播放器的人們中有很多是數(shù)學(xué)家，或是將木星衛(wèi)星令人驚異的照片傳輸至地球的技術(shù)里也包含大量的數(shù)學(xué)。我們知道醫(yī)生有醫(yī)學(xué)學(xué)位，律師有法律學(xué)位，因?yàn)槟切┦翘厥夂兔鞔_定義的專業(yè)，要求同等專業(yè)的訓(xùn)練。但人們不可能在建筑物的銅制銘牌上發(fā)現(xiàn)有證照的數(shù)學(xué)家的名字，替該數(shù)學(xué)家打廣告：這位數(shù)學(xué)家在獲得一大筆費(fèi)用后，可以幫忙解決想要解決的任何數(shù)學(xué)問題。

我們的社會(huì)消費(fèi)了大量的數(shù)學(xué)，但一切只在幕后進(jìn)行，原因相當(dāng)直接：數(shù)學(xué)屬于幕后。當(dāng)駕駛一輛汽車，你絕對(duì)不想考慮所有那些復(fù)雜的機(jī)械方面的東西，只想鉆進(jìn)車子里將它開走。了解車子機(jī)械的基本狀況，當(dāng)然對(duì)你成為好的駕駛員有所幫助，但絕不是一定要這樣才行的。同樣地，數(shù)學(xué)也是如此。你希望車子的導(dǎo)航系統(tǒng)引導(dǎo)方向，而不需自己來計(jì)算所涉及的數(shù)學(xué)。此外，你希望即使不了解信號(hào)處理和誤差修正碼，你的電話仍可以運(yùn)作。然而，我們其中的一些人需要知道如何運(yùn)算數(shù)學(xué)，否則上述的汽車和電話將無法運(yùn)作。如果其他人能夠了解我們?nèi)粘Ｉ钍侨绾伪仨氁揽繑?shù)學(xué)，那將是一件好事。為何將數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)放在幕后，這是因?yàn)樵S多人完全不知道數(shù)學(xué)藏身在幕后。

我有時(shí)覺得，要改變?nèi)藗儗?duì)于數(shù)學(xué)的態(tài)度，最好的方式是，在任何用到數(shù)學(xué)的東西上貼上寫著“內(nèi)含數(shù)學(xué)”的紅色標(biāo)簽。當(dāng)然在每一部計(jì)算機(jī)上都會(huì)貼上一張，又如果照字面的解釋，我們也應(yīng)該在每一位數(shù)學(xué)老師身上貼上一張。我們也應(yīng)該將紅色數(shù)學(xué)標(biāo)簽貼在每一架飛機(jī)、每一部電話、每一輛車、每一個(gè)交通標(biāo)志、每一種蔬菜……

蔬菜？

是的。農(nóng)夫只是照著他們父親和祖先流傳下來的模式耕種，這種日子早已過去。幾乎所有你能買到的蔬菜，都是長(zhǎng)期和復(fù)雜商業(yè)培植計(jì)劃的結(jié)果。“實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)”數(shù)學(xué)意義上的整個(gè)主題，在二十世紀(jì)早期被發(fā)展出來，用來提供一個(gè)系統(tǒng)的方式去評(píng)估新種的植物，遑論基因修改的較新方法。

等等，這不是生物學(xué)嗎？

當(dāng)然是生物學(xué)，但也是數(shù)學(xué)。基因?qū)W在生物學(xué)里最早使用數(shù)學(xué)，人類基因組計(jì)劃之所以成功，不只是因?yàn)樯飳W(xué)家做了許多明智的工作，也因?yàn)榘l(fā)展出強(qiáng)大的數(shù)學(xué)方法，用以分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并且從非常破碎的數(shù)據(jù)里重建準(zhǔn)確的基因序列。

所以，蔬菜得到一個(gè)紅色標(biāo)簽。如同蔬菜，其他東西也應(yīng)貼上一個(gè)紅色標(biāo)簽。

你看電影嗎？你喜歡特效嗎？《星球大戰(zhàn)》（Star Wars）和《魔戒》（Lord of the Rings）里面有數(shù)學(xué)？最早的完全計(jì)算機(jī)動(dòng)畫電影《玩具總動(dòng)員》（Tory Story），促成了大約二十篇數(shù)學(xué)論文的發(fā)表。“計(jì)算機(jī)繪畫”不只是使用計(jì)算機(jī)來做畫，也是讓圖畫看起來更真實(shí)的數(shù)學(xué)方法。為了做出這些效果，需要立體幾何的知識(shí)、光的數(shù)學(xué)，以及在起始和完成的影像間內(nèi)插一連串平滑的動(dòng)作，等等。“內(nèi)插”是一個(gè)數(shù)學(xué)的想法，如果沒有許多聰明的數(shù)學(xué)，內(nèi)插將不會(huì)產(chǎn)生作用——又一個(gè)紅色標(biāo)簽！

當(dāng)然還包括因特網(wǎng)，完全是數(shù)學(xué)運(yùn)作。目前最主要的搜索引擎Google使用數(shù)學(xué)方法，根據(jù)矩陣代數(shù)、概率理論和網(wǎng)絡(luò)的組合數(shù)學(xué)，去尋找最可能包含用戶所需信息的網(wǎng)頁。

但因特網(wǎng)的數(shù)學(xué)較這些更為基本。電話網(wǎng)絡(luò)依賴數(shù)學(xué)，它不像舊時(shí)，當(dāng)時(shí)接線生必須手動(dòng)將電話線路插入總機(jī)，而今天這些電話線必須同時(shí)傳輸數(shù)百萬個(gè)信息。有太多人想要和朋友談話、傳真或上網(wǎng)，以致我們必須分享電話線、海底光纜和衛(wèi)星中繼器，否則網(wǎng)絡(luò)無法承受那么繁忙的交通。所以每一段談話都被分解成數(shù)千個(gè)小段，只有約1%的小片段被實(shí)際傳輸，其余的99%借著填補(bǔ)間隙的方式盡可能地被復(fù)原（之所以行得通，是因?yàn)槿与m短但頻率非常高，以致你聲音的改變比取樣的間距來得慢很多）。噢！整個(gè)信號(hào)被編碼，以致任何的傳輸錯(cuò)誤不僅可被檢測(cè)出來，也可重新放到正確的接收位置。

如果沒有大量的數(shù)學(xué)，現(xiàn)代通信系統(tǒng)將無法運(yùn)作。編碼理論、傅立葉分析（Fourier analysis）、信號(hào)處理……

總之，你上網(wǎng)購買機(jī)票、訂位、前往機(jī)場(chǎng)、坐上飛機(jī)后飛往他處。飛機(jī)之所以能夠飛行，是因?yàn)楣こ處熓褂昧黧w流動(dòng)和空氣動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，確保飛機(jī)可以飛在天上。飛機(jī)使用全球定位系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱GPS，定位系統(tǒng)由一組衛(wèi)星構(gòu)成）來導(dǎo)航，衛(wèi)星信號(hào)經(jīng)由數(shù)學(xué)分析，可以在數(shù)英尺的誤差內(nèi)告訴你飛機(jī)的位置。每一個(gè)航班都必須列入時(shí)間表，才能讓每一架飛機(jī)處于正確的位置，這需要其他領(lǐng)域的數(shù)學(xué)。

親愛的梅格，這是數(shù)學(xué)運(yùn)作的方式。你問我數(shù)學(xué)家是否都隔絕在大學(xué)里，或是否有部分?jǐn)?shù)學(xué)家的工作和實(shí)際生活有關(guān)。其實(shí)你實(shí)際生活的全部，就如同一艘在數(shù)學(xué)海洋里徜徉的小船，上下擺動(dòng)。

但很少有人注意到這一點(diǎn)。逃避數(shù)學(xué)會(huì)讓我們感到自在，但卻貶損了數(shù)學(xué)。這真可恥，這樣一來，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)沒有用處、不必在意，數(shù)學(xué)只是智力游戲而已，沒有真正的重要性。因此，我才想要看見那些紅色標(biāo)簽。事實(shí)上，不用紅色標(biāo)簽的最佳理由，是大部分的地球都將被紅色標(biāo)簽所覆蓋。

你的第三個(gè)問題最為重要，也最令人哀傷。你問我是否必須放棄對(duì)美的感受以研讀數(shù)學(xué)，是否所有事情將變得只剩下數(shù)字、方程式、定理和公式。梅格，敬請(qǐng)寬心，我不會(huì)怪你問這個(gè)問題。可惜這是個(gè)非常普遍卻錯(cuò)得離譜的想法，和真相恰好相反。

數(shù)學(xué)對(duì)我而言如下：它讓我以全新的方式知覺這個(gè)我所居住的世界，讓我對(duì)自然的定律和模式開了眼界，并提供全新的關(guān)于美的經(jīng)驗(yàn)。例如，當(dāng)我看見彩虹，我不僅是看到一道光亮多彩的圓弧，也不僅是看到雨滴對(duì)陽光的影響，雨滴將白色日光還原為構(gòu)成日光的色彩成分。我發(fā)現(xiàn)彩虹既美麗又啟發(fā)靈感，對(duì)彩虹不僅只是光線的折射而心存感激，這些顏色就像紅色（還有綠色和藍(lán)色）的鯡魚。彩虹的形狀和亮度需要解釋：為何是圓弧狀？為何光線如此之亮？

或許你尚未想過這些問題。你已經(jīng)知道，當(dāng)陽光受到雨滴的折射時(shí)會(huì)出現(xiàn)彩虹，因?yàn)殛柟獾拿恳环N顏色會(huì)朝稍微不同的角度轉(zhuǎn)向，并從雨滴反射進(jìn)入我們的雙眼。但事情不是如此簡(jiǎn)單，為何數(shù)以萬計(jì)雨滴折射產(chǎn)生的數(shù)以萬計(jì)有色光線，不會(huì)重疊并模糊掉呢？

答案在于彩虹的幾何學(xué)。當(dāng)光線在雨滴內(nèi)部進(jìn)行反射，雨滴的球狀形體導(dǎo)致光線聚焦于某一特定方向，每一滴雨滴發(fā)射出明亮的圓錐形光線，或是說每一種顏色的光形成自己的圓錐體，而每一種顏色形成之圓錐體的角度稍有不同。當(dāng)我們望向彩虹，我們的眼睛只能偵測(cè)到位于特定方向的圓錐體，每一種顏色的方向在天空形成一個(gè)圓弧。所以我們看到許多同心圓，每一種顏色形成一個(gè)同心圓。你所見到的彩虹和我所見到的，是由不同的雨滴所形成。我們的眼睛位于不同的位置，所以我們偵測(cè)到由不同的雨滴所產(chǎn)生的不同圓錐體。

彩虹是個(gè)人經(jīng)驗(yàn)。

某些人認(rèn)為這樣的理解會(huì)“破壞”情感的體驗(yàn)，因?yàn)樗鼤?huì)產(chǎn)生對(duì)美感滿足的某種壓抑，但我認(rèn)為這是無聊的想法。做這樣聲明的人通常喜歡假裝自己充滿詩意，對(duì)世界奇妙事物抱持開放的態(tài)度，但事實(shí)上他們嚴(yán)重缺乏好奇心：拒絕承認(rèn)世界比他們自身的有限想象來得更奇妙。自然永遠(yuǎn)比你所想的更深邃、更豐富、更有趣，數(shù)學(xué)提供你一個(gè)非常有用的方式去欣賞自然的美。理解的能力是人類和其他動(dòng)物最大的不同，我們應(yīng)該珍視。許多動(dòng)物都有情緒，但只有人類能理性思考。我必須要說，我對(duì)彩虹幾何學(xué)的理解，為它的美增加了新的光彩，而情感的體驗(yàn)卻一點(diǎn)也不會(huì)因此變少。

彩虹只是一個(gè)例子。我觀察動(dòng)物也和常人的角度不同，因?yàn)槲易⒁獾絼?dòng)物移動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模式。當(dāng)我注視一塊水晶，我留意到原子晶格和外在色彩的美麗。在波浪、沙丘、太陽起落、雨滴落在水坑濺起漣漪，甚至停在電話線上的鳥，我也都能看到數(shù)學(xué)。此外，如同望向彌漫大霧的海洋，我模糊了解到，這些日常奇妙的事物充滿無限的未知。

數(shù)學(xué)的內(nèi)在美麗也不應(yīng)該被輕視、被忽略，數(shù)學(xué)研究本身就已非常美麗優(yōu)雅。數(shù)學(xué)的內(nèi)在美并不是我們?cè)趯W(xué)校里使用的“加法”。雖然加法背后的一般原則自有其美麗之處，但它們大多難看又無定形。數(shù)學(xué)的內(nèi)在美麗存在于：想法、普遍性、突然一閃而過的靈感，以及使用直尺和圓規(guī)嘗試三等分某個(gè)角度就等同于去證明3是一個(gè)偶數(shù)；我們無法建構(gòu)一個(gè)等邊七邊形，但可建構(gòu)一個(gè)等邊十七邊形；沒有方法可以解開單結(jié)；為何某些無限大比其他還大，而某些應(yīng)該較大的無限大結(jié)果卻相等；等于連續(xù)平方之和（1+4+9…）的唯一平方數(shù)為4900（1除外）。

梅格，因?yàn)槟阌幸粋€(gè)合乎邏輯和追根究底的心靈，你有成為優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的潛力。你不會(huì)滿意于模糊的論點(diǎn)，你想要看到細(xì)節(jié)并親自檢查，你不只是想知道如何讓事物運(yùn)作，而且也想知道為何事物能夠運(yùn)作。此外，你的來信讓我企盼，將來你能和我目前一樣，能夠看到數(shù)學(xué)的有趣和美麗——以一種獨(dú)特的看待世界的方式。

我希望，這為你研讀數(shù)學(xué)建立了所需要的背景。

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作者簡(jiǎn)介

伊恩?史都華(Ian Stewart)為華威大學(xué)（Warwick University）數(shù)學(xué)教授，英國皇家學(xué)會(huì)（Royal Society）院士，國際知名數(shù)學(xué)科普作家。他發(fā)表過一百四十多篇研究論文，而且獲獎(jiǎng)無數(shù)，他不僅影響數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身，也致力于大眾對(duì)數(shù)學(xué)的理解，以及其他相關(guān)科學(xué)范疇。其作品包括《上帝擲骰子嗎？》（Does God Play Dice?）、《大自然的數(shù)學(xué)游戲》（Nature's Numbers）、《生物世界的數(shù)學(xué)游戲》（Life's Other Secret）等書。

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編輯?∑Gemini

?來源：高數(shù)網(wǎng)

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總結(jié)

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