在印度有一個(gè)古老的傳說(shuō):舍罕王打算獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明人?-?宰相西薩·班·達(dá)依爾。國(guó)王問他想要什么，他對(duì)國(guó)王說(shuō):"陛下，請(qǐng)您在這張棋盤的第1個(gè)小格里，賞給我1粒麥子，在第2個(gè)小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。請(qǐng)您把這樣擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧!"國(guó)王覺得這要求太容易滿足了，就命令給他這些麥粒。當(dāng)人們把一袋一袋的麥子搬來(lái)開始計(jì)數(shù)時(shí)，國(guó)王才發(fā)現(xiàn):就是把全印度甚至全世界的麥粒全拿來(lái)，也滿足不了那位宰相的要求。

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　　那么宰相要求得到的麥粒到底有多少呢?總數(shù)為:

　　第 第 第 第 第

　　1 2 3 4 …… 64

　　格 格 格 格 格

　　1 + 2 + 4+ 8 + ……… + 2的63次方 = 2的64次方,446,744,073,709,551,615(粒)

據(jù)估計(jì)，全世界兩千年也難以生產(chǎn)這么多麥子！那我們就可以想象宰相西薩·班·達(dá)依爾以后的命運(yùn)了。

歷史學(xué)家鮑爾講了一段故事：

在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個(gè)僧侶在按照下面的法則移動(dòng)這些金片：一次只移動(dòng)一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預(yù)言，當(dāng)所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡。

在這個(gè)故事中每將一個(gè)金片移到另一根針上時(shí)，移動(dòng)的次數(shù)都是上一次移動(dòng)的兩倍，那么當(dāng)把所有的金片都移動(dòng)完成后，總的移動(dòng)次數(shù)與第一個(gè)故事中的麥粒數(shù)相同。假設(shè)1秒移動(dòng)一次金片，那么每天不停移動(dòng)金片的話，總共需要將近5800億年能夠完成。根據(jù)現(xiàn)代科學(xué)研究，我們的地球只有46億歲，太陽(yáng)只有50億歲，甚至宇宙也才只有區(qū)區(qū)150億歲，而據(jù)研究太陽(yáng)的壽命也就是大概100億年，也就是說(shuō)，從宇宙大爆炸的一刻起，僧侶就開始工作，日夜不停地移動(dòng)金片，直到太陽(yáng)毀滅他也不過才完成了全部工作的3%！所以世界末日絲毫不用擔(dān)心的。

我們可以再看下地球與月球的距離，大概是384,000千米，換算成米為單位即為384,000,000米，而地球與太陽(yáng)的距離約為150,000,000千米，稱時(shí)速1000千米的飛船要花17年的時(shí)間從地球飛到太陽(yáng)，而光則需要約8分鐘。而以冥王星軌道來(lái)計(jì)算時(shí)，太陽(yáng)系地半徑約為6,000,000,000千米，以彗星軌道為邊界時(shí)為34,000,000,000,000千米，而整個(gè)銀河系的半徑約為100,000光年，換算成光年大概為9后面跟18個(gè)0千米，很難想象這樣的距離是真的能讓牛郎和織女每年跨過銀河去相聚，因?yàn)樗麄內(nèi)绻胍惶炀涂邕^半個(gè)銀河在銀河中心的鵲橋上相見時(shí)，他們的速度至少要比光快19,000,000倍！

話說(shuō)回來(lái)，我們看這些數(shù)字，這些大數(shù)讓人看了就讓人頭大，也許我們小的時(shí)候都會(huì)數(shù)1-100，然后再努力的輸出自己所能達(dá)到的極限，也許我們?cè)?jīng)寫出一個(gè)特別長(zhǎng)的數(shù)字并希望把讀出來(lái)，就像6,498,461,564,942,498,456,191,649,491,206,042,480這樣的數(shù)字，這樣的數(shù)字也是夠唬人的。但是這是人類的極限了嗎？顯然不是，如果我在上述的數(shù)上加1，那他就會(huì)變得更大，不斷加1，也就不斷變大。古代人有在繩子上系繩節(jié)計(jì)算事情的習(xí)慣，如果事情少那自然好辦，但是如果遇到大的數(shù)字，恐怕古代人就沒轍了。當(dāng)然，我們現(xiàn)代人需要的數(shù)字比古代人大得多，但我們總是有方法數(shù)清的。但是如果一個(gè)數(shù)字不斷加1，會(huì)不會(huì)大到我們都數(shù)不清呢？

上文的18,446,744,073,709,551,615和6,498,461,564,942,498,456,191,649,491,206,042,480這種數(shù)字是無(wú)窮大嗎？顯然這個(gè)數(shù)字能夠數(shù)清楚，所以并不是無(wú)窮大。那么，地球上所有的沙子的數(shù)目總是無(wú)窮大了吧，答案依然是否定的，即使人們無(wú)法數(shù)清楚沙子的數(shù)目，但是客觀上講，沙子的數(shù)目總是一個(gè)固定的數(shù)，即使在1后面加上再多的0，那也不是無(wú)窮大。只要有足夠的時(shí)間，上面所說(shuō)的數(shù)一定是能數(shù)出來(lái)的。

那說(shuō)了這么多，到底什么是無(wú)窮大呢？一個(gè)最簡(jiǎn)單地例子便是一條直線上的點(diǎn)的數(shù)目就是無(wú)窮大。將一條線段不斷地分成一半，次數(shù)也是根本無(wú)法數(shù)清的，那也是無(wú)窮大，當(dāng)然我們不考慮最后到分子夸克階段能不能繼續(xù)分的問題。

那無(wú)窮大是一個(gè)具體的數(shù)字嗎？那答案又是否定的，如果是具體的數(shù)字，那么不就數(shù)清楚了嗎，那就不叫無(wú)窮大了。

那么無(wú)窮大是怎么表示的呢？無(wú)窮大的表示方法是“∞”，這個(gè)符號(hào)讓我們想到了莫比烏斯帶，很多人認(rèn)為“∞”的創(chuàng)意來(lái)自于莫比烏斯帶，因?yàn)槿绻硞€(gè)人站在一個(gè)巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠(yuǎn)不會(huì)停下來(lái)，這樣我們可以認(rèn)為一個(gè)人在莫比烏斯帶上走無(wú)限遠(yuǎn)的距離。但是“∞”的發(fā)明是早于莫比烏斯帶的。那么是怎么回事呢？真相只有一個(gè)！那就是英國(guó)人沃利斯(John Wallis，1616-1703)的論文《算術(shù)的無(wú)窮大》中首次提出將8水平置放成“∞”來(lái)表示“無(wú)窮大”。現(xiàn)在“∞”還有了新的含義，那就是天氣預(yù)報(bào)時(shí)霧霾是用這個(gè)符號(hào)表示的，大概是說(shuō)霧霾的小顆粒數(shù)不完所以用無(wú)窮大表示吧。實(shí)際上邊那句話是有錯(cuò)誤的，因?yàn)橹灰凶銐蚨嗟臅r(shí)間，有足夠多的精力去暑霧霾顆粒的數(shù)目，霧霾的顆粒遲早是可以被我們數(shù)清楚的！當(dāng)然我們沒有時(shí)間，沒有精力，大概我們會(huì)認(rèn)為能數(shù)清楚的都是瘋子吧，至少我們小的時(shí)候仰望天空數(shù)星星的時(shí)候是從來(lái)沒把俺天的星星數(shù)清楚的！或許我們能看到的星星的數(shù)量要遠(yuǎn)小于濟(jì)南市某一天曾經(jīng)存在過的所有霧霾顆粒數(shù)吧。

說(shuō)了這么多，我們來(lái)看下百度百科中對(duì)無(wú)窮大的定義：無(wú)窮大，就是在自變量的某個(gè)變化過程中絕對(duì)值無(wú)限增大的變量或函數(shù)。 主要分為正無(wú)窮大、負(fù)無(wú)窮大和無(wú)窮大（可正可負(fù)），分別記作+∞、-∞以及∞，非常廣泛的應(yīng)用于數(shù)學(xué)當(dāng)中。

那么無(wú)窮大的數(shù)學(xué)基本定義是啥呢？設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義）。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（無(wú)論它多么大），總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），只要x適合不等式0M，則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大。

可能看到這里大家就很迷茫了，我們平常看到數(shù)學(xué)就頭大，看到這么長(zhǎng)的一串?dāng)?shù)學(xué)定義還不是要上天？那我就舉一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子來(lái)解釋一下這一句超級(jí)長(zhǎng)的定義。假設(shè)在坐標(biāo)系x0y中有直線，那我們就很容易可以看出，對(duì)于我們給的任意一個(gè)正數(shù)x，都會(huì)存在一個(gè)正數(shù)y與x對(duì)應(yīng)，那么當(dāng)x無(wú)限增大直至無(wú)窮大時(shí)，y也就跟著x無(wú)限增大直至無(wú)窮大。

既然無(wú)窮大也是數(shù)，那我們看到兩樣?xùn)|西總是要本能的做一個(gè)比較，那看到無(wú)窮大的時(shí)候我們也會(huì)這樣想，兩個(gè)無(wú)窮大之間是不是也可以比較大小呢？看到這里可能就有人說(shuō)了，都是無(wú)窮大了還怎么會(huì)有大小呢？如果一個(gè)無(wú)窮大比另一個(gè)無(wú)窮大更大一些，那我讓那個(gè)小一些的無(wú)窮大再大一些，直到比那個(gè)大一些的無(wú)窮大更大一些為止不行嗎？那么這里就犯了一個(gè)錯(cuò)誤，那就是無(wú)窮大不是一個(gè)具體的數(shù)，當(dāng)我們這樣比較的時(shí)候就給無(wú)窮大默認(rèn)了一個(gè)數(shù)值，而沒有意識(shí)到無(wú)窮大是可以無(wú)限增大的。

那么我們先從簡(jiǎn)單的問題入手：“所有的整數(shù)的個(gè)數(shù)和一條直線的所有幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)，究竟哪個(gè)大些？”——這個(gè)問題有意義嗎？這個(gè)問題乍一看也真讓人頭大，但是數(shù)學(xué)家康托爾首先思考了這個(gè)問題。

這兩個(gè)數(shù)既無(wú)法數(shù)出來(lái)，也無(wú)法表示，那怎么比較呢？康托爾提出可以將兩組無(wú)窮大數(shù)進(jìn)行一一配對(duì)，如果兩組數(shù)最后都一個(gè)不剩，那么兩個(gè)無(wú)窮大是一樣大的；如果其中一組數(shù)還剩下了其他的數(shù)，那么這個(gè)無(wú)窮大便比另一個(gè)更大些。這顯然是合理的。

我們先舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，當(dāng)我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)學(xué)校中桌子和椅子的數(shù)量時(shí)，使一張桌子配一把椅子，那么當(dāng)多出椅子時(shí)，那么必定是椅子多，我們?cè)僮屢粋€(gè)學(xué)生對(duì)應(yīng)一副桌椅，那么多出的學(xué)生便是缺少的桌椅數(shù)，或多出的桌椅數(shù)加上學(xué)生數(shù)便是總的桌椅數(shù)。

數(shù)桌椅自然是很簡(jiǎn)單的問題，當(dāng)我們回到無(wú)窮大之間的比較時(shí)，也是這樣的思路。“所有的整數(shù)的個(gè)數(shù)和一條直線的所有幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)，究竟哪個(gè)大些？”我們可以用剛才所說(shuō)的方法，假設(shè)在直線的一頭有一個(gè)點(diǎn)A，那么這條直線上就會(huì)有整數(shù)個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為整數(shù)，可是問題在于還有的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為小數(shù)，比如0.2236541…，那么整數(shù)與直線上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系也就不存在了，因此直線上的點(diǎn)是多于整數(shù)的個(gè)數(shù)的，兩個(gè)無(wú)窮大的大小關(guān)系也就很明顯了，直線上的幾何點(diǎn)的數(shù)目是多于整數(shù)的。

那我們可以再證明一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子。我們知道偶數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)是相等的，那我們?cè)撊绾巫C明呢？按照上文所說(shuō)，我們應(yīng)建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，很顯然，這個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系很好找，讓一個(gè)奇數(shù)加1便得到了偶數(shù)，那么奇數(shù)與偶數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系我們就找到了，那自然就可以證明奇數(shù)與偶數(shù)的個(gè)數(shù)相等了。

在無(wú)窮的發(fā)展史上，部分與整體的關(guān)系是人們十分糾結(jié)的。在歷史上承認(rèn)實(shí)無(wú)窮同承認(rèn)“部分小于整體”不可兼得。但是對(duì)于無(wú)窮大，也許有一個(gè)理論會(huì)讓你感到大吃一驚——部分與整體可能是相等的！這里你可能就要反駁我了，這個(gè)完全就是不可能的嘛！古代的數(shù)學(xué)家們也是這樣認(rèn)為的。拿宇宙作為一個(gè)例子的話，我們知道宇宙現(xiàn)在仍然在無(wú)限增大，那我們也許就能認(rèn)為宇宙是無(wú)限大，那我總不能說(shuō)宇宙的一半和整個(gè)宇宙一樣大吧？這里你又犯了一個(gè)錯(cuò)誤，將無(wú)窮大變得實(shí)物化，那必然會(huì)出錯(cuò)的，宇宙并不能看成無(wú)限大，它是有一定的大小的，即使仍然在不斷擴(kuò)大。

我們先舉一個(gè)比較簡(jiǎn)單的例子——奇數(shù)的個(gè)數(shù)等于偶數(shù)的個(gè)數(shù)，偶數(shù)的個(gè)數(shù)等于整數(shù)的個(gè)數(shù)！

這時(shí)你也許又會(huì)反駁，剛才不是證明了奇數(shù)的數(shù)量一定是和偶數(shù)相等的嗎？我們都知道奇數(shù)和偶數(shù)加起來(lái)便是整數(shù)，那很顯然奇數(shù)與偶數(shù)各自的數(shù)量是整數(shù)的一半。那怎么可能會(huì)有這樣的關(guān)系呢？

我們不應(yīng)該只想到奇數(shù)與偶數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)檫€會(huì)有另外的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，當(dāng)我們將所有的整數(shù)乘2時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)得到的居然全部是偶數(shù)，而將這些偶數(shù)又減1后，得到的全部是奇數(shù)。

這樣你就驚奇的發(fā)現(xiàn)：偶數(shù)的個(gè)數(shù)等于奇數(shù)的個(gè)數(shù)，還等于整數(shù)的個(gè)數(shù)！部分與整體居然是相等的！

另外還有一個(gè)不可思議的例子：無(wú)論長(zhǎng)短，線段上的點(diǎn)的數(shù)目永遠(yuǎn)是相等的。這就有點(diǎn)燒腦了，因?yàn)槲覀冎谰€段上的點(diǎn)我們看不到，數(shù)不清，很難通過一般的思維找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，但辦法總是有的：

　　

假設(shè)有兩條不一樣長(zhǎng)的線段AC和AB，始終會(huì)有直線平行于BC交AB與AC于兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)便具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，也就是說(shuō)長(zhǎng)度不同的線段AB與AC上具有相同數(shù)量的整數(shù)點(diǎn)。

我們甚至可以證明更加神奇的觀點(diǎn)：直線上的幾何點(diǎn)數(shù)與平面上的幾何點(diǎn)數(shù)相同。這也是整體與部分的關(guān)系。我們先比較一條長(zhǎng)1厘米的線段上幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)與面積為1平方厘米的正方形點(diǎn)的個(gè)數(shù)。首先假設(shè)一個(gè)點(diǎn)與線段一個(gè)端點(diǎn)的距離為0.456988厘米，那么我們將奇數(shù)位和偶數(shù)位的數(shù)字提取出來(lái)形成兩個(gè)數(shù)，分別為0.468和0.598，以正方形的一個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，正方形在第一象限內(nèi)，那么坐標(biāo)為（0.468,0.598）的點(diǎn)就在正方形內(nèi)，這時(shí)線段上的幾何點(diǎn)就與正方形上的幾何點(diǎn)建立了以一對(duì)應(yīng)關(guān)系，線段上的幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)便與正方形上點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等了，那么直線與平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)就相等了。

同理，一個(gè)正方形上的點(diǎn)與一個(gè)立方體上的幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)也是相同的，只不過這次就比較麻煩了，因?yàn)橐茸C明正方體內(nèi)的幾何點(diǎn)的數(shù)目和線段上的幾何點(diǎn)數(shù)目相等。我們還是假設(shè)存在一條1厘米的線段和1立方厘米的正方體，假設(shè)一個(gè)點(diǎn)離線段的一個(gè)端點(diǎn)距離為0.456789123厘米，那么我們將小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字分成三份，如第1、4、7位為一組，第2、5、8位為一組，第3、6、9位為一組，則可得到三個(gè)數(shù)字：0.471、0.582、0.693，那么以正方體的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立立體直角坐標(biāo)系，正方體在第一象限，那么就有點(diǎn)（0.471，0.582，0.693）在正方體內(nèi)，這樣線段上的點(diǎn)就與立方體內(nèi)的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么線段上的幾何點(diǎn)就與立方體內(nèi)的幾何點(diǎn)數(shù)量就相等了，因?yàn)檎叫蔚膸缀吸c(diǎn)與線段上的幾何點(diǎn)數(shù)目相等，那么正方形內(nèi)的幾何點(diǎn)與立方體內(nèi)的幾何點(diǎn)數(shù)量相等。

我們?cè)僬f(shuō)一個(gè)例子，我們說(shuō)一個(gè)圓擁有無(wú)數(shù)條半徑，那么當(dāng)我們將圓沿著一條直徑分開之后，這兩個(gè)半圓仍然擁有無(wú)數(shù)條半徑，那么我們也就可以說(shuō)，這兩個(gè)半圓的半徑的數(shù)目與原來(lái)的整圓的半徑數(shù)目是一樣的，那么部分等于全體的結(jié)論也就得以證明了。

同時(shí)我們還可以舉一反三，那么我說(shuō)一個(gè)正方形內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)幾何點(diǎn)，當(dāng)我將正方形一分為二時(shí)，所分成的兩個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)部的幾何點(diǎn)的數(shù)目也就與原來(lái)的正方形相等，部分等于整體也就得以證明。

那我們可以幻想下，當(dāng)我們生產(chǎn)一件商品的時(shí)候，當(dāng)我們計(jì)劃并真正生產(chǎn)無(wú)窮大個(gè)時(shí)，我們就可以說(shuō)我們已經(jīng)完成了計(jì)劃，我們還可以說(shuō)我們已經(jīng)超額完成計(jì)劃，超額多少倍都可以！當(dāng)然這只是玩笑話了！

看到這里是不是有點(diǎn)懵了呢？也許這就是科學(xué)的魅力吧，當(dāng)你沉迷于平時(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)或者是習(xí)慣思維時(shí)，科學(xué)總是突然給你一個(gè)激靈，居然還有這樣的存在！因?yàn)榭茖W(xué)就在于觀察與思考。

盡管幾何點(diǎn)的個(gè)數(shù)要比整數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)目大，但是數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了比它更大的數(shù)，即各種曲線的樣式的數(shù)目，它比所有幾何點(diǎn)的數(shù)目要大得多，因此我們將其看作第三級(jí)無(wú)窮數(shù)列。

無(wú)窮大數(shù)隨級(jí)別增大，無(wú)窮大也就越大。按照“無(wú)窮大數(shù)算術(shù)”的奠基者康托爾的意見，無(wú)窮大數(shù)是用希伯來(lái)字母?（讀作阿萊夫）表示的，在字母的右下角，再用一個(gè)小號(hào)數(shù)字表示這個(gè)無(wú)窮大數(shù)的級(jí)別。這樣一來(lái)，數(shù)目字（包括無(wú)窮大數(shù)）的數(shù)列就成為無(wú)窮大的頭三級(jí)分別為“所有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)目”（?1），“線、面、體上所有幾何點(diǎn)的數(shù)目”（?2）和“所有幾何曲線的數(shù)目”（?3）。

這樣我們就可以說(shuō)“一條直線上有?2個(gè)點(diǎn)”、“所有曲線的樣式有?3種”，這就像我們說(shuō)“人一天要吃3頓飯”、“地球有1個(gè)衛(wèi)星”一樣簡(jiǎn)單了。

無(wú)窮大的這三級(jí)已經(jīng)足夠表示目前我們能想到的所有無(wú)窮大了，所以不要再頭大地給一個(gè)數(shù)無(wú)限地加1了，因?yàn)檫@僅僅是第一級(jí)無(wú)窮大，你連這一級(jí)都數(shù)不完。

無(wú)窮大的加減法

既然我們能比較無(wú)窮大的大小，那我們就可以讓兩個(gè)無(wú)窮大相加減，那么問題就來(lái)了，無(wú)窮大這么抽象，怎么做到優(yōu)雅地相加減而不出錯(cuò)呢？

那首先無(wú)窮大之間的相加很簡(jiǎn)單了，兩個(gè)無(wú)窮大相加必然還是無(wú)窮大了！那你或許就會(huì)說(shuō)了，相加有什么意思，你讓兩個(gè)無(wú)窮大相減啊！那問題就來(lái)了，反正都是數(shù)不清，那兩個(gè)無(wú)窮大相減不就是0嗎？答案必然是不對(duì)的，無(wú)窮大的減法是有規(guī)律的。

我們知道，無(wú)窮大也是分級(jí)別的，同級(jí)別的無(wú)窮大相減肯定是0，但是不同級(jí)別的無(wú)窮大相減就不一樣了。例如當(dāng)?shù)诙?jí)無(wú)窮大（?2）減第一級(jí)無(wú)窮大（?1）時(shí)，得到的結(jié)果仍然是無(wú)窮大，當(dāng)?shù)谝患?jí)減第二級(jí)無(wú)窮大時(shí)，結(jié)果就是負(fù)無(wú)窮大了。

我們來(lái)看這是為什么。我們上面說(shuō)第一級(jí)無(wú)窮大是所有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)目，而第二級(jí)無(wú)窮大則是指線、面、體上所有幾何點(diǎn)的數(shù)目，那這里結(jié)果也就自然而然地出來(lái)了，我們?cè)诘谌轮凶C明過，整數(shù)與分?jǐn)?shù)的總數(shù)是少于線上的幾何點(diǎn)的數(shù)目的，所以當(dāng)?shù)诙?jí)無(wú)窮大（?2）減第一級(jí)無(wú)窮大（?1）時(shí)，結(jié)果就是正無(wú)窮大，相反則是負(fù)無(wú)窮大。

在古希臘的奴隸社會(huì)，盛行“萬(wàn)物本原”的學(xué)說(shuō)。這些學(xué)說(shuō)中，阿那克西曼德（約公元前610~546）認(rèn)為萬(wàn)物的基本元素是一種不具備任何規(guī)定性的特殊物質(zhì)，這種物質(zhì)不冷不熱，非水非氣，他把這種物質(zhì)稱為“無(wú)限”，這是最早出現(xiàn)的“無(wú)限”概念，但是對(duì)于“無(wú)限”具體指的什么，沒有人能真正解釋清楚，因此最開始的無(wú)窮就是以思辨的形式而非數(shù)學(xué)形式出現(xiàn)的，它主要是哲學(xué)家討論的問題，例如時(shí)間和空間的無(wú)限性，物質(zhì)的無(wú)限性等等。后來(lái)在數(shù)的概念出現(xiàn)以后，“無(wú)限”便被賦予了新的含義——它不是一種具體的物質(zhì)，而是與“有限”對(duì)立的量的概念，自此“無(wú)限”成為了一個(gè)數(shù)學(xué)問題。

希臘奴隸制的繁榮也帶動(dòng)了思想的繁榮，安提豐（約公元前五世紀(jì)）提出用圓的內(nèi)接正方形的變數(shù)不斷加倍的方法可以無(wú)限逼近圓的面積，布賴森也提出用圓的內(nèi)接與外切正多邊形來(lái)逼近圓的面積，這些都是運(yùn)用了無(wú)窮的思想思考數(shù)學(xué)問題，但是遺憾的是，這些人并沒有進(jìn)行真正的計(jì)算。

在我國(guó)的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期也產(chǎn)生了“無(wú)窮”的思想，《莊子》中“一尺之錘”便是一種潛無(wú)窮思想。三國(guó)時(shí)期劉徽注意到無(wú)窮進(jìn)展能夠完成，并把他的思想應(yīng)用到了計(jì)算“弧田”的面積、“陽(yáng)馬”的體積以及開方運(yùn)算。劉徽認(rèn)為圓內(nèi)接正六邊形的面積隨邊數(shù)不斷加倍而逐漸增加，但是永遠(yuǎn)都不會(huì)大于圓的面積，同時(shí)指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣。” 劉徽從單位圓的內(nèi)接正六邊形算起，算到正192邊形，得出π.14。南北朝時(shí)期的祖沖之在劉徽工作的基礎(chǔ)上已求得3.1415926 0。

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