等高線的示意圖：

三維曲面上的梯度更新過程中，很多地方出現(xiàn)梯度的下降方向是如下這樣走的：

從圖上能夠看出，梯度下降的方向與等高線的切線方向垂直。

那么為什么會(huì)垂直呢？其實(shí)是一個(gè)高數(shù)問題

解釋

假設(shè)我們的損失函數(shù)為z=f(x,y)，在幾何上表示是一個(gè)曲面，該曲面被平面c（c為常數(shù)）所截得的曲線L方程為：

這條曲線L在xoy軸面上的投影是一條平面曲線Q，它在x0y平面直角坐標(biāo)系中的方程為:

則我們稱平面曲線Q為函數(shù)z=f(x,y)的等高線。

由于等高線f(x,y)=c上任一一點(diǎn)的切線斜率為dy/dx來求。

則等高線f(x,y)=c上任一一點(diǎn)(x,y)處的法線的斜率為：

又因?yàn)樘荻鹊挠?jì)算式子為：

則可以得到梯度的方向?yàn)?#xff1a;

從上可以看出梯度的方法與等高線f(x,y)=c上任一一點(diǎn)的法線斜率是相同的。

這也就解釋了為什么梯度的方向與等高線切線方向垂直的原因。結(jié)論如下：

函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)p(x,y)的梯度的方向與過點(diǎn)p的等高線f(x,y)=c在這點(diǎn)的法線一個(gè)方向相同。梯度的方向與等高線切線方向垂直.

轉(zhuǎn)自：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/27731819

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的为什么梯度的方向与等高线切线方向垂直？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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