前言

本文參考$StevenM.LaValle$的《Planning Algorithms》，針對后驅的simple car來進行分析robot運動學。

模型簡介

模型如下，車的坐標系原點在后輪中心位置，此模型為兩輪驅動，后兩個為驅動輪，前兩個為從動輪，前兩個掌握方向，后兩個輸出速度。L為前后輪的距離，如果 $?$定了，那么車將進行圓周運動，運動半徑就是$\rho$。

運動學方程表述如下：s是車輛的速度（具有符號），就是沿著車的坐標系x軸的速度；$?$是車輪轉向角steering angle，圖中的車輪轉向是正值。x，y，$\theta$,顯而易見。

運動學方程推導

當在一個非常小的時間間隔$\Delta t$內，汽車的方向大概就可以認為是后輪的朝向。當$\Delta t$趨近于0，則$dy/dx=\dot{y}/\dot{x}$，而且在世界坐標系中 $dy/dx=\tan \theta$ ，結合 $\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$可以得到Pfaffian constraint：
$$?\dot{x}\sin \theta +\dot{y}\cos \theta =0$$
由這個式子可以知道， $\dot{x}=\cos \theta$ 和$\dot{y}=\sin \theta$滿足上面的約束或者說是上面方程的解，而且這個解的倍數也是這個方程的解。在這個模型中這個倍數就是s（車的后輪速度），所以運動學的前兩項就求出來了
$$\begin{gathered} \dot{x}=s\cos \theta \\ \dot{y}=s\sin \theta \end{gathered}$$

最后推導$\dot{\theta }$的表達式，由這個模型知道，當$?$固定了，車輛行駛的弧長就是$w$，那么有
$dw=\rho d\theta$，再由$\rho =L/\tan ?$，我們能得到：
$$d\theta =\frac{\tan ?}{L}dw兩邊分別除以dt得\dot{\theta }=\frac{s}{L}\tan ?$$

運動學方程為：
$$\begin{gathered} \dot{x}=s\cos \theta \\ \dot{y}=s\sin \theta \\ \dot{\theta }=\frac{s}{L}\tan ? \end{gathered}$$

在上面這個模型中，我們能控制的變量是速度s和車轉向$?$，其中s根據實際車來定，這個牽扯到動力學，而$?$值在$(?{?}_{max},{?}_{max})$之間，且${?}_{max}<\pi /2$，最小轉彎半徑為${\rho }_{min}=L/\tan {?}_{max}$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器人运动学(a simple car)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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