給定一個三角形，找出自頂向下的最小路徑和。每一步只能移動到下一行中相鄰的結點上。

相鄰的結點 在這里指的是 下標 與 上一層結點下標 相同或者等于 上一層結點下標 + 1 的兩個結點。

例如，給定三角形：

[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自頂向下的最小路徑和為 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

說明：

如果你可以只使用 O(n) 的額外空間（n 為三角形的總行數）來解決這個問題，那么你的算法會很加分。

來源：力扣（LeetCode）
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三角形如下圖

1 自頂向下方法

分析
加入一個棋子一開始在最頂層，他只能走向下一個或者斜下方的那格，每個格子都有權重，找出從最頂層向下走到最底層的最小權重和的路徑。

括號內表示從頂層走到這個格子，有幾條路徑

1. 1二維矩陣的方法

構建一個相同的三角形S，S的第一個元素與給定矩陣的相同。
下面一個元素可以通過上面兩條路徑走下來，它的正上方的和左上方的。比如第三行的元素5（坐標(2，1)），可以從元素3（坐標（ 1，0 ））或者4 （坐標（ 1，1））走過來。如果保證，每次走下來的路徑是上一層中，路徑較小的那一條，那么到最后一層的時候，就是最小權重和的路徑。在S中元素記錄的是從頂層走到該處最小的路徑權重。$S[i][j]=triangle[i][j]+min(s[i?1][j],s[i?1][j?1])$
還需要考慮邊界條件:

• 最左邊的元素，只能從正上方的元素哪里走下來
  $S[i][0]=triangle[i][0]+s[i?1][0]$
• 最右方的元素，只能從斜上方的元素走過來
  $S[i][i]=triangle[i][i]+s[i?1][i?1]$

構建完S矩陣后，返回最后一行最小的元素即可

class Solution:def minimumTotal(self, triangle) -> int:# triangle = [[2], [3, 4], [6, 5, 7], [4, 1, 8, 3]]# triangle = [[-1],[3,2],[1,-2,-1]]s = triangle.copy()# print(triangle)# print(s)l = len(triangle)if l < 1:returnelif l == 1:return s[0][0]else:s[0][0] = triangle[0][0]# s[1][0] = s[0][0] + triangle[1][0]# s[1][1] = s[0][0] + triangle[1][1]# print('after 1 epoch', s)for i in range(1, l):for j in range(i):if j == 0:s[i][0] = triangle[i][0] + s[i - 1][0]else:s[i][j] = triangle[i][j] + min(s[i - 1][j], s[i - 1][j - 1])s[i][i] = triangle[i][i] + s[i - 1][i - 1]# print(s)return min(s[l-1])

1.2一維數組

二維數組方法求解時，最重要的一步是
$S[i][j]=triangle[i][j]+min(s[i?1][j],s[i?1][j?1])$
可以看上，下一行的路徑和只與上一層有關系，與上上層、上上上層…沒有關系。所以可以構建一個以為數組，保存上一層路徑的結果。另外新建一個以為數組，保存該層的結果就可以了。

class Solution:def minimumTotal(self, triangle):# triangle = [[2], [3, 4], [6, 5, 7], [4, 1, 8, 3]]# triangle = [[-1],[3,2],[1,-2,-1]]# s = triangle.copy()# print(triangle)# print(s)l = len(triangle)if l < 1:returnelif l == 1:return triangle[0][0]else:s = triangle[0]# s[1][0] = s[0][0] + triangle[1][0]# s[1][1] = s[0][0] + triangle[1][1]# print('after 1 epoch', s)for i in range(1, l):r = []for j in range(i):if j == 0:temp = triangle[i][j] + s[j]else:temp = triangle[i][j] + min(s[j], s[j - 1])r.append(temp)temp = triangle[i][i] + s[i - 1]r.append(temp)s = r.copy()# print(s)return min(s)

2 自下而上

從最后一層開始往上走，在原矩陣上就地操作，每個位置保存從下向上的最短路徑$$triangle[i][j]=triangle[i][j]+min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1])$$

class Solution:def minimumTotal(self, triangle):l = len(triangle)for i in range(l-2,-1,-1):for j in range(i+1):triangle[i][j] = triangle[i][j]+min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1])return triangle[0][0]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的120. 三角形最小路径和的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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