定義1：

設是數域P上線性空間V的一個線性變換，如果對于數域P中一數存在一個非零向量，使得那么稱為的一個特征值，而稱為的屬于特征值的一個特征向量。

從幾何上來看,特征向量的方向經過線性變換后，保持在同一條直線上,這時或者方向不變(λ。>0)?,或者方向相反(λ。<0),至于λ。=0時,特征向量就被線性變換變成零向量。（零向量不是特征向量）
如果ξ是線性變換的屬于特征值的特征向量,那么ξ的任何一個非零倍數kξ也是的屬于的特征向量.因為從式可以推出
特征向量不是被特征值所唯一決定的，特征值卻是被特征向量所唯一決定的?,因為，一個特征向量只能屬于一個特征值。

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定義2：

? 設是數域P上一n級矩陣,λ是一個文字，矩陣的行列式

稱為A的特征多項式,這是數域P上的一個n次多項式。
如果λ。是線性變換A的特征值,那么λ。一定是矩陣A的特征多項式的一個根;反過來，如果λ。是矩陣A的特征多項式在數域P中的一個根，即|?λE?-A?|?=0,?那么齊次線性方程組

（1）

就有非零解.這時，如果()是方程組(1)的一個非零解，那么非零向量

滿足,即λ。是線性變換的一個特征值，ξ就是屬于特征值的一個特征向量。

確定一個線性變換的特征值與特征向量的方法：

1.在線性空間V中取一組基寫出在這組基下的矩陣A;（）
2.求出A的特征多項式|?λE?-A?|?在數城P中全部的根，它們也就是線性變換的全部特征值;
3.把所求得的特征值逐個地代人方程組(1),對于每一個特征值,解方程組(1),求出一組基礎解系，它們就是屬于這個特征值的幾個線性無關的特征向量在基下的坐標，這樣，我們也就求出了屬于每個特征值的全部線性無關的特征向量.

矩陣A的特征多項式的根有時也稱為A的特征值,而相應的線性方程組(1)的解也就稱為A的屬于這個特征值的特征向量.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的特征值与特征向量（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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