最長公共子序列

最長公共子序列的問題很簡單，就是在兩個字符串中找到最長的子序列，這里明確兩個含義：

子串：表示連續的一串字符 。

子序列：表示不連續的一串字符。

所以這里要查找的是不連續的最長子序列，

動態規劃

這里為什么要使用動態規劃可以說一下，簡單來說動態規劃是為了降低時間復雜度的一種算法，申請一個額外空間，來保存每一個步驟的結果，最后從這些結果中找到最優的解。

這里有個問題就是：一般來說，當前的最優解，只與當前時刻和上一時刻有關系，和其他時刻沒有關系，這樣才能讓動態規劃發生作用，降低復雜度。

分析LCS

其實LCS看起來很麻煩，找不到思路，如果暴力破解可能要O(n^4)了，而這個題目使用動態規劃的思想也非常簡單，為何相比之前的問題不好找思路呢？

是因為之前的動態規劃問題例如：背包問題，生產線問題，都是一維數組空間內的結果，規劃到一個線性時間內，而這個題目需要O(m*n)的時間復雜度和空間復雜度。

所以其實就是進行m*n次對比，每次保存當前的最優解，就可以了。

代碼實現分析

這里有個問題，就是我們需要的結果僅僅是長度？ 還是包括這個序列串一起輸出。

看下面圖：

這里可以看到，我們構造的一個i*j的矩陣，這個矩陣里的內容不但包括數值（當前結果的最優解），還包括一個方向箭頭，這個代表了我們回溯的時候，需要行走的方向。

所以我們這里保存兩個值，可以使用兩個二維矩陣，也可以使用一個結構體矩陣。

解法分析

其實這個題目在動態規劃來理解，也非常簡單。一個狀態轉移函數。

這個非常好理解，其中一個字符串為0的時候，那么肯定是0了。

當兩個字符相等的時候，這個時候很好理解，舉例來說：

abcd?和?adcd,在遍歷c的時候，發現前面只有a相等了，也就是1.?
那么c相等，也就是abc和adc在匹配的時候，一定比ab和ad的長度大1，這個1就是c相等么。也就是相等的時候，是比c[i-1][j-1]大1的。

下一個更好理解了，如果不相等，肯定就是找到上一個時刻對比最大的么。

代碼

這個代碼只輸出了LCS的長度，而結果數組的方向我已經存儲好了，想要遍歷的，直接從后向前遍歷數組就可以輸出最長公共子序列了，即哪些 direct = 0 的節點。

// // main.cpp // LCS // // 最長公共子序列(LCS) //#include <iostream>using namespace std;/* * 這里可以不定義長度，輸入的字符串用string存儲，然后利用string.c_str()來對字符串進行數組轉化。 我這里為了方便沒有這樣做。 */ #ifndef MAX_LENGTH #define MAX_LENGTH 15 //定義字符串最大長度 #endifint MaxNum(int firstNum, int secondNum){return firstNum > secondNum ? firstNum : secondNum; }//定義數組結構體 struct matrix{int num;int direct; };typedef matrix Matrix;int LCS(char *strA, char *strB, int lengthA, int lengthB, Matrix *resultMatrix[]){if (lengthA == 0 || lengthB == 0) {return 0;}for (int i = 0; i < lengthA; i++) {for (int j = 0; j < lengthB; j++) {resultMatrix[i][j].num = 0; //設置所有默認的最長為0resultMatrix[i][j].direct = 1; //所有默認方向變成上 0斜上，1上，-1左}}for (int i = 0; i < lengthA; i++) {for (int j = 0; j < lengthB; j++) {if (strA[i] == strB[j]) {resultMatrix[i+1][j+1].num = resultMatrix[i][j].num + 1;resultMatrix[i+1][j+1].direct = 0;}else{resultMatrix[i+1][j+1].num = MaxNum(resultMatrix[i+1][j].num, resultMatrix[i][j+1].num);resultMatrix[i+1][j+1].direct = resultMatrix[i+1][j].num > resultMatrix[i][j+1].num ? 1 : -1;}}}return resultMatrix[lengthA][lengthB].num; }int main(int argc, const char * argv[]) {char *strA = (char*)malloc(sizeof(char) * MAX_LENGTH);char *strB = (char*)malloc(sizeof(char) * MAX_LENGTH);scanf("%s",strA);scanf("%s",strB);int lengthA = (int)strlen(strA);int lengthB = (int)strlen(strB);Matrix *resultMatrix[lengthA+1];for (int i = 0; i <= lengthA; i++) {resultMatrix[i] = (Matrix*)malloc(sizeof(struct matrix)* (lengthB+1));}int max = LCS(strA, strB, lengthA, lengthB, resultMatrix);printf("%d\n",max);std::cout << "Hello, World!\n";return 0; }

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上面我們介紹了最長公共子序列，下面我們來介紹一種子串（連續字符）的模式匹配問題，以及 BF 算法和 KMP 算法。

KMP 算法背景

給定一個主串（以 S 代替）和模式串（以 P 代替），要求找出 P 在 S 中出現的位置，此即串的模式匹配問題。

Knuth-Morris-Pratt 算法（簡稱 KMP）是解決這一問題的常用算法之一，這個算法是由高德納（Donald Ervin Knuth）和沃恩·普拉特在 1974 年構思，同年詹姆斯·H·莫里斯也獨立地設計出該算法，最終三人于 1977 年聯合發表。

在繼續下面的內容之前，有必要在這里介紹下兩個概念：真前綴?和?真后綴。

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由上圖所得， "真前綴" 指除了自身以外，一個字符串的全部頭部組合；"真后綴" 指除了自身以外，一個字符串的全部尾部組合。于是得到兩個集合，而我們后面的 next 數組的元素便是這兩個集合之交中最長字符串元素的長度。而 KMP 算法便是根據next數組中的值來減少回溯重復比較字符而提高算法的效率的。

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暴力樸素字符串匹配?BF 算法

初遇串的模式匹配問題，我們腦海中的第一反應，就是樸素字符串匹配?BF(Brute Force)（即所謂的暴力匹配），代碼如下：

/* 字符串下標始于 0 */ int strFind(const char *str, const char *substr) {assert(str != NULL && substr != NULL);int m = strlen(str), n = strlen(substr);if(m < n) return -1for(int i=0; i <= m-n; ++i){for(int j=0; j < n; ++j){if(str[i+j] != substr[j])break;}if(j == n) // 匹配成功return i;}return -1; }

暴力匹配的時間復雜度為?O( (m-n+1) * n)，其中?n?為 S 的長度，m?為 P 的長度。很明顯，這樣的時間復雜度很難滿足我們的需求。

接下來進入正題：時間復雜度為?Θ(n+m)?的 KMP 算法。

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KMP字符串匹配算法

簡言之，以圖中的例子來說，在 i 處失配，那么主字符串和模式字符串的前邊6位就是相同的。又因為模式字符串的前6位，在前 6 位中我們發現其??"真前綴" 和 "真后綴" 的最長的相同真前后綴的長度是 4，它的前4位前綴和后4位后綴是相同的，所以我們推知主字符串i之前的4位和模式字符串開頭的4位是相同的。就是圖中的灰色部分。那這部分就不用再比較了。而當我們回溯時，此時 i = 6，j = 4，我們保持 i = 6, 不變。而將模式串向右滑動，即調整 j 的值，而湊巧我們知道其 next[ i=4 ] 此時的值，代表最長的相同真前后綴長度，就等于 4。于是我們果斷將 j 更新回溯為 j = 4, i 不變，i = 6。得到如圖（b）的狀態。

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有了上面的分析，我們先假設已經有了獲取 next 數組的函數，在不分析其具體實現的抽象之上便可以構建起 KMP 算法的框架，如下：

/* 在 S 中找到 P 第一次出現的位置 */ int KMP(string S, string P, int *next) {GetNext(P, next);int i = 0; // S 的下標int j = 0; // P 的下標int s_len = S.size();int p_len = P.size();while (i < s_len && j < p_len) // 因為末尾 '\0' 的存在，所以不會越界{if (j == -1 || S[i] == P[j]) // P 的第一個字符不匹配或 S[i] == P[j]{++i; ++j;}elsej = next[j]; // 當前字符匹配失敗，進行跳轉}if (j == p_len) // 匹配成功return i - j;return -1; }

注意，因為作為模式串如果只有一個字符，則它肯定沒有其相等的最長真前后綴。故我們會將 next [0] = -1 即第一位的值設為 -1。所以在上述的代碼中 if 條件中的表達式 j == -1 是有可能通過 else 語句中的 next[j] 賦值而致使其成立的。此時表示其第一個字符不匹配。注意，每一個 next[j] 的值都是依賴從模式串中的 [0 ... j-1] 中的相等的最長真前后綴的長度決定的。

于是我們便可以的出求取 next 數組的第一種方法：

/* P 為模式串，下標從 0 開始 */ void GetNext(string P, int *next) {int p_len = P.size();int i = 0; // P 的下標int j = -1; next[0] = -1;while (i < p_len){if (j == -1 || P[i] == P[j]){++i;++j;next[i] = j;}elsej = next[j];} }

KMP優化

其實在上面的求取 next 數組中，在 ++i, ++j 之后并沒有判斷 p[i] 是否與 p[j] 相同，故仍會出現有冗余的比較字符的情況，于是就有了下面的求取 next 數組的改進算法。使用這種方式求取的 next 數組，整合到 KMP 中就稱為 kMP 的優化情況。如下所示：

void GetNextval(string P, int *nextval) {int p_len = P.size();int i = 0; // P 的下標int j = -1; nextval[0] = -1;while (i < p_len){if (j == -1 || P[i] == P[j]){i++;j++;if (P[i] != P[j])nextval[i] = j;elsenextval[i] = nextval[j]; // 既然相同就繼續往前找真前綴}elsej = nextval[j];} }

??至此，關于 KMP 算法，我們就介紹到這里了。

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參考

• 嚴蔚敏. 數據結構（C 語言版）
• 阮一峰.?字符串匹配的KMP算法
• ?https://blog.csdn.net/alps1992/article/details/47923041

總結

以上是生活随笔為你收集整理的字符串模式匹配——最长公共子序列与子串 KMP 算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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