1.前言

一個(gè)信號(hào)，通常用一個(gè)時(shí)間的函數(shù)來表示，這樣簡(jiǎn)單直觀，因?yàn)樗暮瘮?shù)圖像可以看做信號(hào)的波形，比如聲波和水波等等。很多時(shí)候，對(duì)信號(hào)的處理是很特殊的，比如說線性電路會(huì)將輸入的正弦信號(hào)處理后，輸出仍然是正弦信號(hào)，只是幅度和相位有一個(gè)變化（實(shí)際上從數(shù)學(xué)上看是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是線性微分方程的特征函數(shù)，就好像矩陣的特征向量一樣，而這個(gè)復(fù)幅度對(duì)應(yīng)特征值）。因此，如果我們將信號(hào)全部分解成正弦信號(hào)的線性組合（傅里葉變換?），那么就可以用一個(gè)傳遞函數(shù)??來描述這個(gè)線性系統(tǒng)。倘若這個(gè)信號(hào)很特殊，例如?（很明顯他的傅里葉級(jí)數(shù)是不收斂的），傅里葉變換在數(shù)學(xué)上不存在，這個(gè)時(shí)候就引入拉普拉斯變換??來解決這個(gè)問題。這樣一個(gè)線性系統(tǒng)都可以用一個(gè)傳遞函數(shù)?來表示。所以，從這里可以看到將信號(hào)分解為正弦函數(shù)（傅里葉變換）或者 復(fù)指數(shù)函數(shù)（拉普拉斯變換）對(duì)分析線性系統(tǒng)至關(guān)重要。

2.Fourier Laplace Z之間的聯(lián)系

如果只關(guān)心信號(hào)本身，不關(guān)心系統(tǒng)，這幾個(gè)變換的關(guān)系可以通過這樣一個(gè)過程聯(lián)系起來。
首先需要明確一個(gè)觀點(diǎn)，不管使用時(shí)域還是頻域（或s域）來表示一個(gè)信號(hào)，他們表示的都是同一個(gè)信號(hào)！關(guān)于這一點(diǎn)，我們可以從線性空間的角度理解。同一個(gè)信號(hào)，如果采用不同的坐標(biāo)框架（或者說基向量），那么他們的坐標(biāo)就不同。例如，采用作為坐標(biāo)，那么信號(hào)就可以表示為，而采用則表示為傅里葉變換的形式。線性代數(shù)知識(shí)：兩個(gè)不同坐標(biāo)框架下，同一個(gè)向量的坐標(biāo)可以通過一個(gè)線性變換聯(lián)系起來，如果是有限維的空間，則可以表示為一個(gè)矩陣，在這里是無限維，這個(gè)線性變換就是傅里葉變換。

如果我們將拉普拉斯的域畫出來，他是一個(gè)復(fù)平面，拉普拉斯變換X(s)是這個(gè)復(fù)平面上的一個(gè)復(fù)變函數(shù)。而這個(gè)函數(shù)沿虛軸jw的值X(jw)就是傅里葉變換。到現(xiàn)在，對(duì)信號(hào)的形式還沒有多少假定，如果信號(hào)是帶寬受限信號(hào)，也就是說X(jw)只在一個(gè)小范圍內(nèi)（如-B<w<B）不為0。根據(jù)采樣定理，可以對(duì)時(shí)域采樣，只要采樣的頻率足夠高，就可以無失真地將信號(hào)還原出來。那么采樣對(duì)信號(hào)的影響是什么呢？從Laplace平面來看，時(shí)域的采樣將沿虛軸方向作周期延拓！這個(gè)性質(zhì)從數(shù)學(xué)上可以很容易驗(yàn)證。
z變換可以看做拉普拉斯變換的一種特殊形式，即做了一個(gè)代換，T是采樣的周期。這個(gè)變換將信號(hào)從s域變換到z域。請(qǐng)記住前面說的那個(gè)觀點(diǎn)，s域和z域表示的是同一個(gè)信號(hào)，即采樣完了之后的信號(hào)。只有采樣才會(huì)改變信號(hào)本身！從復(fù)平面上來看，這個(gè)變換將與軸平行的條帶變換到z平面的一個(gè)單葉分支。我們會(huì)看到前面采樣導(dǎo)致的周期延拓產(chǎn)生的條帶重疊在一起了！！！因?yàn)榫哂兄芷谛?#xff0c;所以z域不同的分支的函數(shù)值是相同的。換句話說，如果沒有采樣，直接進(jìn)行z變換，將會(huì)得到一個(gè)多值的復(fù)變函數(shù)！所以一般只對(duì)采樣完了后的信號(hào)做z變換！

這里講了時(shí)域的采樣，時(shí)域采樣后，信號(hào)只有間的頻譜，即最高頻率只有采樣頻率一半，但是要記錄這樣一個(gè)信號(hào)，仍然需要無限大的存儲(chǔ)空間，可以進(jìn)一步對(duì)頻域進(jìn)行采樣。如果時(shí)間有限（這與頻率受限互相矛盾）的信號(hào)，那么通過頻域采樣（時(shí)域做周期擴(kuò)展）可以不失真地從采樣的信號(hào)中恢復(fù)原始信號(hào)。并且信號(hào)長(zhǎng)度是有限的，這就是離散傅里葉變換(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里葉變換(FFT)。為什么要說DFT呢，因?yàn)橛?jì)算機(jī)要有效地對(duì)一般的信號(hào)做傅里葉變換，都是用DFT來實(shí)現(xiàn)的。除非信號(hào)具有簡(jiǎn)單的解析表達(dá)式！
總結(jié)起來說，就是對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，輸入輸出是線性關(guān)系的，不論是線性電路還是光路，只要可以用一個(gè)線性方程或線性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）來描述的系統(tǒng)，都可以通過傅里葉分析從頻域來分析這個(gè)系統(tǒng)的特性，比單純從時(shí)域分析要強(qiáng)大得多！兩個(gè)著名的應(yīng)用例子就是線性電路和傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。甚至非線性系統(tǒng)，也在很多情況里面使用線性系統(tǒng)的東西！所以傅里葉變換才這么重要！傅里葉變換最早也是為了求解熱傳導(dǎo)方程（那里其實(shí)也可以看做一個(gè)線性系統(tǒng)）！

最后，從純數(shù)學(xué)的角度說一下傅里葉變化到底是什么。還記得線性代數(shù)中的代數(shù)方程嗎？如果A是對(duì)稱方陣，可以找到矩陣A的所有互相正交的特征向量和特征值，然后將向量x和b表示成特征向量的組合。由于特征向量的正交關(guān)系，矩陣的代數(shù)方程可以化為n個(gè)標(biāo)量代數(shù)方程，是不是很神奇！！你會(huì)問這跟傅里葉變換有毛關(guān)系啊？別急，再看非齊次線性常微分方程，可以驗(yàn)證指數(shù)函數(shù)是他的特征函數(shù)，如果把方程改寫為算子表示，那么有，這是不是和線性方程的特征向量特征值很像。把y 和z都表示為指數(shù)函數(shù)的線性組合，那么經(jīng)過這種變換之后，常微分方程變?yōu)闃?biāo)量代數(shù)方程了！！而將y和z表示成指數(shù)函數(shù)的線性組合的過程就是傅里葉變換（或拉普拉斯變換）。在偏微分方程如波動(dòng)方程中也有類似結(jié)論！歸納起來，就是說傅里葉變換就是線性空間中的一個(gè)特殊的正交變換！他之所以特殊是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是微分算子的特征函數(shù)！

3.小結(jié)

3.1 ?為什么要進(jìn)行著三種變換？

三種變換均是是將原先的時(shí)域信號(hào)變換到頻域進(jìn)行表示，在頻域分析信號(hào)的特征。當(dāng)信號(hào)變換到頻域后，就會(huì)出現(xiàn)很多時(shí)域中無法直接觀察到的現(xiàn)象。比如F域中的頻譜響應(yīng)！L域中的系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷！Z域?yàn)V波器設(shè)計(jì)。

3.2 三種變換的關(guān)系

上面說的三種變換都是講原先在時(shí)域中表示的信號(hào)：

傅里葉變換只能對(duì)能量有限的信號(hào)進(jìn)行變換（也就是可以收斂的信號(hào)），無法對(duì)能量無限的信號(hào)進(jìn)行變換（無法收斂的信號(hào)）進(jìn)行變換！

因此，拉氏變換由此誕生，他就是在傅里葉變換公式中乘以一個(gè)雙肩因子，使得能量無限的信號(hào)也能進(jìn)行時(shí)頻變換！

Z變換就是離散化的拉氏變換！

4.致謝

向Universit?t Stuttgart ?Heinrich致敬！！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的深入探讨傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系与应用的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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