無論在機(jī)器學(xué)習(xí)還是深度領(lǐng)域中,損失函數(shù)都是一個(gè)非常重要的知識點(diǎn)。損失函數(shù)（Loss Function）是用來估量模型的預(yù)測值 f(x) 與真實(shí)值 y 的不一致程度。我們的目標(biāo)就是最小化損失函數(shù)，讓 f(x) 與 y 盡量接近。通常可以使用梯度下降算法尋找函數(shù)最小值。

關(guān)于梯度下降最直白的解釋可以看我的這篇文章：

簡單的梯度下降算法，你真的懂了嗎？

損失函數(shù)有許多不同的類型，沒有哪種損失函數(shù)適合所有的問題，需根據(jù)具體模型和問題進(jìn)行選擇。一般來說，損失函數(shù)大致可以分成兩類：回歸（Regression）和分類（Classification）。今天，紅色石頭將要總結(jié)回歸問題中常用的 3 種損失函數(shù)，希望對你有所幫助。

回歸模型中的三種損失函數(shù)包括：均方誤差（Mean Square Error）、平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）、Huber Loss。

1. 均方誤差（Mean Square Error，MSE）

均方誤差指的就是模型預(yù)測值 f(x) 與樣本真實(shí)值 y 之間距離平方的平均值。其公式如下所示：

其中，yi 和 f(xi) 分別表示第 i 個(gè)樣本的真實(shí)值和預(yù)測值，m 為樣本個(gè)數(shù)。

為了簡化討論，忽略下標(biāo) i，m = 1，以 y-f(x) 為橫坐標(biāo)，MSE 為縱坐標(biāo)，繪制其損失函數(shù)的圖形：

MSE 曲線的特點(diǎn)是光滑連續(xù)、可導(dǎo)，便于使用梯度下降算法，是比較常用的一種損失函數(shù)。而且，MSE 隨著誤差的減小，梯度也在減小，這有利于函數(shù)的收斂，即使固定學(xué)習(xí)因子，函數(shù)也能較快取得最小值。

平方誤差有個(gè)特性，就是當(dāng)?yi 與 f(xi) 的差值大于 1 時(shí)，會(huì)增大其誤差；當(dāng)?yi 與 f(xi) 的差值小于 1 時(shí)，會(huì)減小其誤差。這是由平方的特性決定的。也就是說， MSE 會(huì)對誤差較大（>1）的情況給予更大的懲罰，對誤差較小（<1）的情況給予更小的懲罰。從訓(xùn)練的角度來看，模型會(huì)更加偏向于懲罰較大的點(diǎn)，賦予其更大的權(quán)重。

如果樣本中存在離群點(diǎn)，MSE 會(huì)給離群點(diǎn)賦予更高的權(quán)重，但是卻是以犧牲其他正常數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測效果為代價(jià)，這最終會(huì)降低模型的整體性能。我們來看一下使用 MSE?解決含有離群點(diǎn)的回歸模型。

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(1, 20, 40) y = x + [np.random.choice(4) for _ in range(40)] y[-5:] -= 8 X = np.vstack((np.ones_like(x),x)) ? ?# 引入常數(shù)項(xiàng) 1 m = X.shape[1] # 參數(shù)初始化 W = np.zeros((1,2))# 迭代訓(xùn)練 num_iter = 20 lr = 0.01 J = [] for i in range(num_iter):y_pred = W.dot(X)loss = 1/(2*m) * np.sum((y-y_pred)**2)J.append(loss)W = W + lr * 1/m * (y-y_pred).dot(X.T)# 作圖 y1 = W[0,0] + W[0,1]*1 y2 = W[0,0] + W[0,1]*20 plt.scatter(x, y) plt.plot([1,20],[y1,y2]) plt.show()

擬合結(jié)果如下圖所示：

可見，使用 MSE 損失函數(shù)，受離群點(diǎn)的影響較大，雖然樣本中只有 5 個(gè)離群點(diǎn)，但是擬合的直線還是比較偏向于離群點(diǎn)。這往往是我們不希望看到的。

2.?平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）

平均絕對誤差指的就是模型預(yù)測值 f(x) 與樣本真實(shí)值 y 之間距離的平均值。其公式如下所示：

為了簡化討論，忽略下標(biāo) i，m = 1，以 y-f(x) 為橫坐標(biāo)，MAE 為縱坐標(biāo)，繪制其損失函數(shù)的圖形：

直觀上來看，MAE 的曲線呈 V 字型，連續(xù)但在 y-f(x)=0 處不可導(dǎo)，計(jì)算機(jī)求解導(dǎo)數(shù)比較困難。而且 MAE 大部分情況下梯度都是相等的，這意味著即使對于小的損失值，其梯度也是大的。這不利于函數(shù)的收斂和模型的學(xué)習(xí)。

值得一提的是，MAE 相比 MSE 有個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是 MAE 對離群點(diǎn)不那么敏感，更有包容性。因?yàn)?MAE 計(jì)算的是誤差?y-f(x) 的絕對值，無論是?y-f(x)>1 還是?y-f(x)<1，沒有平方項(xiàng)的作用，懲罰力度都是一樣的，所占權(quán)重一樣。針對 MSE 中的例子，我們來使用 MAE 進(jìn)行求解，看下擬合直線有什么不同。

X = np.vstack((np.ones_like(x),x)) ? ?# 引入常數(shù)項(xiàng) 1 m = X.shape[1] # 參數(shù)初始化 W = np.zeros((1,2))# 迭代訓(xùn)練 num_iter = 20 lr = 0.01 J = [] for i in range(num_iter):y_pred = W.dot(X)loss = 1/m * np.sum(np.abs(y-y_pred))J.append(loss)mask = (y-y_pred).copy()mask[y-y_pred > 0] = 1mask[mask <= 0] = -1W = W + lr * 1/m * mask.dot(X.T)# 作圖 y1 = W[0,0] + W[0,1]*1 y2 = W[0,0] + W[0,1]*20 plt.scatter(x, y) plt.plot([1,20],[y1,y2],'r--') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('MAE') plt.show()

注意上述代碼中對 MAE 計(jì)算梯度的部分。

擬合結(jié)果如下圖所示：

顯然，使用 MAE 損失函數(shù)，受離群點(diǎn)的影響較小，擬合直線能夠較好地表征正常數(shù)據(jù)的分布情況。這一點(diǎn)，MAE 要優(yōu)于 MSE。二者的對比圖如下：

選擇 MSE 還是 MAE 呢？

實(shí)際應(yīng)用中，我們應(yīng)該選擇 MSE 還是 MAE 呢？從計(jì)算機(jī)求解梯度的復(fù)雜度來說，MSE 要優(yōu)于 MAE，而且梯度也是動(dòng)態(tài)變化的，能較快準(zhǔn)確達(dá)到收斂。但是從離群點(diǎn)角度來看，如果離群點(diǎn)是實(shí)際數(shù)據(jù)或重要數(shù)據(jù)，而且是應(yīng)該被檢測到的異常值，那么我們應(yīng)該使用MSE。另一方面，離群點(diǎn)僅僅代表數(shù)據(jù)損壞或者錯(cuò)誤采樣，無須給予過多關(guān)注，那么我們應(yīng)該選擇MAE作為損失。

3.?Huber Loss

既然 MSE 和 MAE 各有優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，那么有沒有一種激活函數(shù)能同時(shí)消除二者的缺點(diǎn)，集合二者的優(yōu)點(diǎn)呢？答案是有的。Huber Loss 就具備這樣的優(yōu)點(diǎn)，其公式如下：

Huber Loss 是對二者的綜合，包含了一個(gè)超參數(shù) δ。δ 值的大小決定了 Huber Loss 對 MSE 和 MAE 的側(cè)重性，當(dāng) |y?f(x)| ≤?δ?時(shí)，變?yōu)?MSE；當(dāng) |y?f(x)| >?δ?時(shí)，則變成類似于 MAE，因此 Huber Loss 同時(shí)具備了 MSE 和 MAE 的優(yōu)點(diǎn)，減小了對離群點(diǎn)的敏感度問題，實(shí)現(xiàn)了處處可導(dǎo)的功能。

通常來說，超參數(shù)?δ 可以通過交叉驗(yàn)證選取最佳值。下面，分別取?δ = 0.1、δ = 10，繪制相應(yīng)的 Huber Loss，如下圖所示：

Huber Loss 在?|y?f(x)| >?δ?時(shí)，梯度一直近似為 δ，能夠保證模型以一個(gè)較快的速度更新參數(shù)。當(dāng)?|y?f(x)| ≤?δ?時(shí)，梯度逐漸減小，能夠保證模型更精確地得到全局最優(yōu)值。因此，Huber Loss 同時(shí)具備了前兩種損失函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。

下面，我們用 Huber Loss 來解決同樣的例子。

X = np.vstack((np.ones_like(x),x)) ? ?# 引入常數(shù)項(xiàng) 1 m = X.shape[1] # 參數(shù)初始化 W = np.zeros((1,2))# 迭代訓(xùn)練 num_iter = 20 lr = 0.01 delta = 2 J = [] for i in range(num_iter):y_pred = W.dot(X)loss = 1/m * np.sum(np.abs(y-y_pred))J.append(loss)mask = (y-y_pred).copy()mask[y-y_pred > delta] = deltamask[mask < -delta] = -deltaW = W + lr * 1/m * mask.dot(X.T)# 作圖 y1 = W[0,0] + W[0,1]*1 y2 = W[0,0] + W[0,1]*20 plt.scatter(x, y) plt.plot([1,20],[y1,y2],'r--') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('MAE') plt.show()

注意上述代碼中對 Huber Loss 計(jì)算梯度的部分。

擬合結(jié)果如下圖所示：

可見，使用 Huber Loss 作為激活函數(shù)，對離群點(diǎn)仍然有很好的抗干擾性，這一點(diǎn)比 MSE 強(qiáng)。另外，我們把這三種損失函數(shù)對應(yīng)的 Loss 隨著迭代次數(shù)變化的趨勢繪制出來：

MSE：

MAE：

Huber Loss：

對比發(fā)現(xiàn)，MSE 的 Loss 下降得最快，MAE 的 Loss 下降得最慢，Huber Loss 下降速度介于 MSE 和 MAE 之間。也就是說，Huber Loss 彌補(bǔ)了此例中 MAE 的 Loss 下降速度慢的問題，使得優(yōu)化速度接近 MSE。

最后，我們把以上介紹的回歸問題中的三種損失函數(shù)全部繪制在一張圖上。

好了，以上就是紅色石頭對回歸問題 3 種常用的損失函數(shù)包括：MSE、MAE、Huber Loss 的簡單介紹和詳細(xì)對比。這些簡單的知識點(diǎn)你是否已經(jīng)完全掌握了呢？

參考文獻(xiàn)：

http://www.10tiao.com/html/782/201806/2247495489/1.html

https://www.cnblogs.com/massquantity/p/8964029.html

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總結(jié)

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