（下面的回答只涉及實數范圍）。

關于特征值、特征向量可以講的確實很多，我這里希望可以給大家建立一個直觀的印象。

先給一個簡短的回答，如果把矩陣看作是運動，對于運動而言，最重要的當然就是運動的速度和方向，那么（我后面會說明一下限制條件）：

• 特征值就是運動的速度
• 特征向量就是運動的方向

既然運動最重要的兩方面都被描述了，特征值、特征向量自然可以稱為運動（即矩陣）的特征。

注意，由于矩陣是數學概念，非常抽象，所以上面所謂的運動、運動的速度、運動的方向都是廣義的，在現實不同的應用中有不同的指代。

下面是詳細的回答，我會先從幾何上簡單講解下特征值、特征向量的定義指的是什么，然后再來解釋為什么特征值、特征向量會是運動的速度和方向。

1 幾何意義

說明下，因為線性變換總是在各種基之間變來變去，所以我下面畫圖都會把作圖所用的基和原點給畫出來。

在 下面有個 ：

隨便左乘一個矩陣，圖像看上去沒有什么特殊的：

我調整下 的方向，圖像看上去有點特殊了：

可以觀察到，調整后的 和 在同一根直線上，只是 的長度相對的長度變長了。

此時，我們就稱 是 的特征向量，而 的長度是 的長度的 倍， 就是特征值。

從而，特征值與特征向量的定義式就是這樣的：

其實之前的 不止一個特征向量，還有一個特征向量：

容易從 相對于 是變長了還是縮短看出，這兩個特征向量對應的特征值，一個大于1，一個小于1。

從特征向量和特征值的定義式還可以看出，特征向量所在直線上的向量都是特征向量：

你可以自己動手試試，可以改變 的位置，以及矩陣 的值（特征空間會隨著矩陣改變而改變）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

其中有些值構成的矩陣沒有畫出特征空間，可能是因為它的特征值、特征向量是復數，也可能是不存在。

下面就要說下，特征值、特征向量與運動的關系

2 運動的速度與方向

2.1 從調色談起

我有一管不知道顏色的顏料，而且這管顏料有點特殊，我不能直接擠出來看顏色，只能通過調色來觀察：

為了分辨出它是什么顏色（記得它只能通過調色來辨別）：

因為反復混合之后，這管顏料的特征就凸顯了出來，所以我們判斷，這管顏料應該是藍色。

說這個干什么？矩陣也有類似的情況。

2.2 矩陣的混合

一般來說，矩陣我們可以看作某種運動，而二維向量可以看作平面上的一個點（或者說一個箭頭）。對于點我們是可以觀察的，但是運動我們是不能直接觀察的。

就好像，跑步這個動作，我們不附加到具體的某個事物上是觀察不到的，我們只能觀察到：人跑步、豬跑步、老虎跑步、......，然后從中總結出跑步的特點。

就好像之前舉的不能直接觀察的顏料一樣，要觀察矩陣所代表的運動，需要把它附加到向量上才觀察的出來：

似乎還看不出什么。但是如果我反復運用矩陣乘法的話：

就像之前顏料混合一樣，反復運用矩陣乘法，矩陣所代表的運動的最明顯的特征，即速度最大的方向，就由最大特征值對應的特征向量展現了出來。

至于別的特征值對應的是什么速度，我后面會解釋，這里先跳過。

可以自己動手試試，我把 值也標注出來了，可以關注下最大 值對于運動的影響：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

順便說下，對于復數的特征值、特征向量，在上面就沒有畫出特征空間，但可以觀察到反復運用矩陣乘法的結果是圍繞著原點在旋轉。關于復數特征值和特征向量這里就不展開來說了。

2.3 燒一壺斐波那契的水

上面說的運動太抽象了，我來舉一個具體點的例子：燒水。

比如說我想燒一壺水，水的溫度按照斐波那契數列升高，即下一秒的溫度 與當前溫度 以及上一秒的溫度的關系為：

要繼續計算下去，我只需要 以及 就可以繼續算下去。因此我可以寫成下面的式子：

因此燒水這個運動我們可以抽象為矩陣 ，反復進行這個運動就可以燒開這壺水，根據斐波那契數列，讓我們從 點開始（感興趣的話，可以通過之前的互動調整下參數，可以得到下面的結果）：

就可以看出，這壺水的溫度會沿著的特征值最大的特征向量方向飛快增長，我估計要不了多久，在理想的情況下，溫度就會突破百萬度、千萬度、億萬度，然后地球說不定就爆炸了。我們就說這個矩陣不穩定。

所以說，不要燒斐波那契的水。

實際上歷史也是這樣，歐拉在研究剛體的運動時發現，有一個方向最為重要，后來拉格朗日發現，哦，原來就是特征向量的方向。

我們知道特征值、特征向量有什么特點之后，下一步就想知道，為什么會這樣？

3 特征值分解

下面講解要用到矩陣乘法和相似矩陣的知識，我就不啰嗦了，可以參看我的回答： 行列式的本質是什么？ 以及 相似矩陣是什么？

我們知道，對于矩陣可以對角化的話，可以通過相似矩陣進行下面這樣的特征值分解：

其中為對角陣，的列向量是單位化的特征向量。

說的有點抽象，我們拿個具體的例子來講：

對于方陣而言，矩陣不會進行維度的升降，所以矩陣代表的運動實際上只有兩種：

• 旋轉
• 拉伸

最后的運動結果就是這兩種的合成。

我們再回頭看下剛才的特征值分解，實際上把運動給分解開了：

我們來看看在幾何上的表現是什么，因此相似矩陣的講解涉及到基的變換，所以大家注意觀察基：

左乘 ：

如果旋轉前的基不正交，旋轉之后變為了標準基，那么實際會產生伸縮，所以之前說的正交很重要。

繼續左乘對角矩陣 ：

相當于，之前的旋轉是指明了拉伸的方向，所以我們理解了：

• 特征值就是拉伸的大小
• 特征向量指明了拉伸的方向

回到我們之前說的運動上去，特征值就是運動的速度，特征向量就是運動的方向，而其余方向的運動就由特征向量方向的運動合成。所以最大的特征值對應的特征向量指明了運動速度的最大方向。

但是，重申一下，上面的推論有一個重要的條件，特征向量正交，這樣變換后才能保證變換最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是變化最大的方向，比如：

所以我們在實際應用中，都要去找正交基。但是特征向量很可能不是正交的，那么我們就需要奇異值分解了，這里就不展開了。

大家可以再回頭去操作一下之前的動圖，看看不正交的情況下有什么不一樣。

左乘 ：

說明下，如果大家把這個文章和之前提到的我寫的“相似矩陣”的文章參照來看的話，“相似矩陣”那篇文章里面我把圖像的坐標系換了，所以看著圖像沒有變換（就好像直角坐標系到極坐標系下，圖像是不會變換的）。而這里我把圖像的坐標系給旋轉、拉伸了，所以看著圖像變換了（就好像換元，會導致圖像變換）。這其實是看待矩陣乘法的兩種視角，是等價的，但是顯示到圖像上就有所不同。

4 特征值、特征向量的應用

4.1 控制系統

之前的燒水系統是不穩定的。

的，系統最終會趨于穩定：

4.2 圖片壓縮

比如說，有下面這么一副的圖片（方陣才有特征值，所以找了張正方形的圖）：

這個圖片可以放到一個矩陣里面去，就是把每個像素的顏色值填入到一個的 矩陣中。

根據之前描述的有：

其中， 是對角陣，對角線上是從大到小排列的特征值。

我們在中只保留前面50個的特征值（也就是最大的50個，其實也只占了所有特征值的百分之十），其它的都填0，重新計算矩陣后，恢復為下面這樣的圖像：

效果還可以，其實一兩百個特征值之和可能就占了所有特征值和的百分之九十了，其他的特征值都可以丟棄了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的如何理解矩阵特征值的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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