博弈論(Game Theory) - 04 - 納什均衡

開始

納什均衡和最大最小定理是博弈論的兩大基石。
博弈不僅僅是對抗，也包括合作和遷就，納什均衡能夠解決這些問題，提供了在數(shù)學(xué)上一個完美的理論。
納什均衡的中心思想是主動選擇一個對大家都有利的戰(zhàn)略，迫使其他玩家選擇相同的戰(zhàn)略組合。

納什均衡

示例

這里，我們使用“戰(zhàn)略式”表述，如下：

BLMRAUHD

3,2	4,7	5,1
6,1	2,8	1,1
3,7	8,9	10, 4

純戰(zhàn)略納什均衡的劃線法

注：我用紅色代替了劃線。
在玩家A的每一個戰(zhàn)略中，找到玩家B的最大支付，并在其下面劃線。
比如：玩家A的戰(zhàn)略U中，玩家B的最大支付是7。
然后
在玩家B的每一個戰(zhàn)略中，找到玩家A的最大支付，并在其下面劃線。
最后，都有劃線的戰(zhàn)略組合就是純戰(zhàn)略納什均衡。

概念

• 納什均衡
  對于n人戰(zhàn)略式表述博弈\(G = \{ S_1, \cdots, S_n; u_1, \cdots, u_n\}\)，若戰(zhàn)略組合\(s^*=(s_1^*, \cdots, s_n^*)\)滿足如下條件，則稱\(s^*\)是一個納什均衡：
  \(u_1(s_i^*, s_{-1}^*) \ge u_1(s_i, s_{-1}^*) \ \forall s_i \in S_i, i-1, \cdots, n\)
  或者用另一種表達(dá)方式：當(dāng)且僅當(dāng)\(s_i^*\)是下述最大化問題的解時，\(s^*\)是一個納什均衡
  \(s_i^* = \underset{s_i}{argmax} \ u_i(s_1^*, \cdots, s_{i-1}^*, s_i, s_{i+1}^*, \cdots, s_n^*), \ i=1, \cdots, n; s_i \in S_i\)
  納什均衡的含義是說：當(dāng)局中人在某一選定的戰(zhàn)略組合下都沒有積極性偏離各自已選定的戰(zhàn)略時，該戰(zhàn)略組合就構(gòu)成一個納什均衡。
  納什均衡對應(yīng)的戰(zhàn)略組合是：戰(zhàn)略組合的每個特定玩家策略都是（當(dāng)其他玩家做出這個戰(zhàn)略組合對應(yīng)的選擇時）其最優(yōu)解。

參考

• 博弈論與經(jīng)濟(jì)模型， 蒲勇健。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/steven-yang/p/6813978.html

總結(jié)

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