舉例來說，+8在計算機中表示為二進制的1000，那么-8怎么表示呢？

很容易想到，可以將一個二進制位(bit)專門規定為符號位，它等于0時就表示正數，等于1時就表示負數。比如，在8位機中，規定每個字節的最高位為符號位。那么，+8就是00001000，而-8則是10001000。但是，隨便找一本《計算機原理》，都會告訴你，實際上，計算機內部采用2的補碼(Two's Complement)表示負數。

什么是2的補碼？

它是一種數值的轉換方法，要分二步完成：

第一步，每一個二進制位都取相反值，0變成1，1變成0。比如，00001000的相反值就是11110111。

第二步，將上一步得到的值加1。11110111就變成11111000。

所以，00001000的2的補碼就是11111000。也就是說，-8在計算機(8位機)中就是用11111000表示。

不知道你怎么看，反正我覺得很奇怪，為什么要采用這么麻煩的方式表示負數，更直覺的方式難道不好嗎？為什么要用2的補碼？

首先，要明確一點。計算機內部用什么方式表示負數，其實是無所謂的。只要能夠保持一一對應的關系，就可以用任意方式表示負數。所以，既然可以任意選擇，那么理應選擇一種最方便的方式。2的補碼就是最方便的方式。它的便利體現在，所有的加法運算可以使用同一種電路完成。

還是以-8作為例子。假定有兩種表示方法。一種是直覺表示法，即10001000；另一種是2的補碼表示法，即11111000。請問哪一種表示法在加法運算中更方便？

隨便寫一個計算式，16 + (-8) = ?

16的二進制表示是 00010000，所以用直覺表示法，加法就要寫成：

０００１００００

＋１０００１０００

－－－－－－－－－

１００１１０００

可 以看到，如果按照正常的加法規則，就會得到10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這是錯誤的答案。也就是說，在這種情況下，正常的加法規 則不適用于正數與負數的加法，因此必須制定兩套運算規則，一套用于正數加正數，還有一套用于正數加負數。從電路上說，就是必須為加法運算做兩種電路。

現在，再來看2的補碼表示法。

０００１００００

＋１１１１１０００

－－－－－－－－－

１００００１０００

可以看到，按照正常的加法規則，得到的結果是100001000。注意，這是一個9位的二進制數。我們已經假定這是一臺8位機，因此最高的第9位是一個溢出位，會被自動舍去。所以，結果就變成了00001000，轉成十進制正好是8，也就是16 + (-8) 的正確答案。這說明了，2的補碼表示法可以將加法運算規則，擴展到整個整數集，從而用一套電路就可以實現全部整數的加法。

2的補碼的本質及正確性

我們要看先一下模的概念

“模”是指一個計量系統的計數范圍。如時鐘等。計算機也可以看成一個計量機器，它也有一個計量范圍，即都存在一個“模”。例如：時鐘的計量范圍是0～11，模=12。表示n位的計算機計量范圍是0～2^(n)-1，模=2^(n)。“模”實質上是計量器產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算。例如：

假設當前時針指向10點，而準確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：你可以往回撥4個小時，也可以向前撥8個小時(12-10+6，在鐘表系統里模是12)。在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。對“模”而言，8和4互為補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特性。共同的特點是兩者相加等于模。對于計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8， 所能表示的最大數是11111111，若再加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進制系統的模為2^8。 在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就可以了。

再次重申一下這句話：

在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。所以對于模為10000 0000的8位系統來說，減去b和加上10000 0000-b是一個道理，而(10000 0000-b)是什么？恰好就是b的補碼。

補碼怎么求，“取反加一”這口訣怎么來的？

承認了8 - 5 = 8 + (-5的補碼)這個事實后，我們來看-5的補碼怎么求，“取反加一”怎么來的

其實看完了上面的模的問題，該問題的答案基本已經出來了

-5的補碼是 10000 0000 - 5 = 1111 1111 + 1 -5 = (1111 1111 - 5) + 1

1111 1111減去一個數事實上就是在對這個數取反，后面那個是+1

兩個小問題的解釋：

(1)32位系統里，int的最大值為01111111 11111111 11111111 11111111，加1之后為10000000?? 00000000?? 00000000?? 00000000。這個數是什么？

首先這是個負數-->負數在計算器里都是補碼形式存放-->這是個補碼-->那么真值是？--> -2147483648(已知負數的補碼求該負數，不會求的百度一下吧。

(2)對于unsigned，最大值(32個1)加1后最前面的1自然丟失，剩下32個0，所以就是0。

總結

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