前面我們提到，可以用一階微分算子和二階微分算子來(lái)增強(qiáng)圖像，由于是增強(qiáng)了圖像中的物體邊緣輪廓，起到了銳化圖像的效果，因此這些算子操作可用于圖像銳化。

我們?cè)谇懊娴膱D像模糊中，介紹了使用平滑空間濾波器來(lái)模糊圖像，那么用微分算子來(lái)銳化圖像能不能也使用空間濾波器的形式呢？

我們分別選一個(gè)一階微分算子和一個(gè)二階微分算子作為示例：Sobel算子和Laplacian算子。首先，還是給出圖像像素的8領(lǐng)域：

對(duì)于拉普拉斯算子，其二階梯度表示是：
Laplacian = z8 + z2 + z6 + z4 - 4*z5
如果我們把8領(lǐng)域都考慮進(jìn)去，其可以轉(zhuǎn)換成如下的形式：
Laplacian =
0*z1 + 1*z2 + 0*z3 +
1*z4 + (-4)*z5 + 1*z6 +
0*z7 + 1*z8 + 0*z9
這和上面的式子是等價(jià)的。我們把上面的8領(lǐng)域像素的系數(shù)提取出來(lái)，形成一個(gè)系數(shù)矩陣，就是：

那么對(duì)圖像實(shí)施拉普拉斯算子操作，實(shí)質(zhì)上就是用這個(gè)系數(shù)矩陣與圖像中的任意一點(diǎn)的領(lǐng)域區(qū)域矩陣進(jìn)行矩陣點(diǎn)乘，然后求點(diǎn)乘后矩陣的和。寫(xiě)出公式就是：

g(x,y)=∑a=?nn∑b=?nnw(a,b)f(x+a,y+b)
其中w(a, b)就是上面的拉普拉斯算子矩陣。

我們注意到，這和前面文章中提到的空間濾波器形式是一模一樣的。所以，像拉普拉斯算子這樣的二階微分算子，可以像平滑空間濾波器（圖像降噪、圖像模糊）那樣，使用空間濾波器的形式，這為統(tǒng)一計(jì)算模型帶來(lái)了極大方便。

同理，對(duì)于Sobel算子，其一階梯度表示是：
S=|(z7+2*z8+z9)-(z1+2*z2+z3)|+|(z3+2*z6+z9)-(z1+2*z4+z7)|
由于這里用了絕對(duì)值，我們需要分開(kāi)來(lái)：
Sobel = |gx|+|gy|
gx = (z7+2*z8+z9)-(z1+2*z2+z3)
gy = (z3+2*z6+z9)-(z1+2*z4+z7)

轉(zhuǎn)換成等價(jià)形式：
gx =
(-1)*z1 + (-2)*z2 + (-1)*z3+
0*z4 + 0*z5 + 0*z6 +
1*z7 + 2*z8 + 1*z9
gy =
(-1)*z1 + 0*z2 + 1*z3 +
(-2)*z4 + 0*z5 + 2*z6 +
(-1)*z7 + 0*z8 + 1*z9
提取出系數(shù)矩陣就是：

由于使用了x方向和y方向梯度的絕對(duì)值的和來(lái)表示梯度幅值，因此Sobel算子需要使用2個(gè)這樣的系數(shù)矩陣，也就是2個(gè)空間濾波器。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的微分算子为什么也是空间滤波器的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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