圖像傳感器與信號處理——光學系統

• 圖像傳感器與信號處理——光學系統
• • 1 光學系統性能相關參數
  • • 1.1 焦距
    • 1.2 F數
    • 1.3 像差
    • 1.4 景深
    • 1.5 調制傳遞函數
  • 2 光學系統設計相關參數
  • • 2.1 透鏡組合
    • 2.2 低通濾波器
    • 2.3 鍍膜
    • 2.4 非球面鏡
    • 2.5 角度波動

圖像傳感器與信號處理——光學系統

本文主要總結了圖像傳感器中光學系統相關知識，參考書籍為《數碼相機中圖像傳感器和信號處理》，英文版為《Image Sensors And Signal Processing for Digital Still Cameras》 。

1 光學系統性能相關參數

1.1 焦距

當物體離得很遠時，光線從物體所在的一側照射到薄透鏡上，并以平行光束進入透鏡。光束被透鏡折射，并聚焦在距離透鏡$f$的一個點上，如下圖所示，距離$f$即為焦距。

對于一個薄透鏡來說，焦距通過下式進行計算：$$\frac{1}{f}=(n?1)?\left(\frac{1}{R_1}?\frac{1}{R_2}\right)$$其中，$R_1$是物體所在一側透鏡的曲率半徑，$R_2$是像所在一側透鏡的曲率半徑，$n$是透鏡的折射率。

對于一個具備一定厚度的透鏡來說，焦距通過下式進行計算：$$\frac{1}{f}=\frac{n?1}{R_1}+\frac{1?n}{R_2}+\frac{d(n?1{)}^2}{n{R}_1{R}_2}$$其中，$d$是透鏡的厚度。通過上式可以看出凸透鏡越厚，焦距越長。

對于已知焦距的兩個透鏡來說，組合焦距通過下式進行計算：$$\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}?\frac{d}{f_1{f}_2}$$其中，如果用$f_1$表示第一個透鏡的焦距，用$f_2$表示第二個透鏡的焦距，用$d$表示兩個透鏡的間距。

1.2 F數

鏡頭的$F$數以上圖中聚焦光束張角的一半${\theta }^{\prime }$為自變量的函數表達式：$$F=\frac{1}{2\sin {\theta }^{\prime }}$$由于鏡頭的亮度與光束的橫截面積相關，鏡頭的亮度$F$數的平方成反比，這意味著$F$數越大，通過鏡頭的光量越少，所成的像就越暗。 $F$數理論上的最小值是0.5，而實際中，市面上最亮的照相鏡頭的$F$數大約是1.0，原因在于要對各種像差進行校正。

鏡頭的$F$數可以近似用下面的等式進行計算：$$F=\frac{f}{D}$$此時要求$\theta$的值很小，$D$表示人射光束的直徑。

鏡頭的有效$F$數考慮了成像距離對其造成的影響，計算公式為：$$F^{\prime }=\frac{f+q}{D}=\left(1+\frac{q}{f}\right)?\frac{f}{D}=(1+m)F$$由該式得到的結論是離鏡頭越遠，圖像的亮度越低。

像平面的亮度$E_i$可以近似用下面的等式進行計算：$$E_i=\frac{\pi }{4}{E}_{0}T{\left(\frac{1}{(1+m)F}\right)}^2$$其中$E_0$為物體的亮度，$T$光學系統的透明度,這個等式給出了像中心的亮度，但是像邊緣的亮度一般要比這個值低 。 這就是所謂的邊緣照度衰減效應。對于一個非常薄的、不存在漸暈效應和畸變像差的鏡頭，其邊緣照度衰減與${\cos }^4\theta$成比例，其中$\theta$是光束偏離物側的被拍攝區（視野的一半）的光軸的角度，這被稱為余弦四次方定律。

1.3 像差

鏡頭的理想成像應當滿足以下幾個條件：
（1） 點所成像仍為點 ；
（2）平面所成像仍為平面 ；
（3）物體和它的成像形狀一樣 。

當鏡頭成像不理想就產生了像差，當用多項式去近似球面（鏡頭的表面）時，最多用 到三階多項式的像差稱為三階像差，三階像差一共有如下五類：
（1）球面像差：由鏡頭的球形表面引起的．這意味著光軸上的點光源形成的像不能聚焦到 一個點上，這可以通過減小光圈尺寸來校正 。
（2）彗星像差：對 于光軸外的點光椒，會產生彗星狀的帶有尾巴的光斑，這通常也可以通過減小光圈尺寸來校正 。
（3）像散：點光源被投影成線或者橢圓所導致的像差。受到焦點的影響，線的形狀
像是旋轉了90度（例如垂直線變成了水平線） 。減小光圈尺寸可以降低這種像差的影響 。
（4）場曲：當物體是一個平面時，這種像差會導致焦平面彎曲成碗狀，從而導致像的邊緣模糊不清 。減小光圈的尺寸同樣可以降低這種像差 的影響，因為它增加了焦深 。
（5）畸變：使圖像產生扭曲的像差 。這種像差本身不會對 MTF 產生影響，并且不能通過減小光圈尺寸來校正 。

1.4 景深

景深即物體在像清晰時所在的區域范圍（深度），與成像光學器件的焦距的平方成比例 。我們通過超焦距$D_{\mathrm{h}}$來間接描述景深隨焦距等參數變化的特性，超焦距$D_{\mathrm{h}}$指鏡頭聚焦到無窮遠時，從鏡頭至景深近界限的距離，其計算公式如下：$$D_{\mathrm{h}}=\frac{f^2}{F\delta }$$其中$\delta$是明晰圈，在此圈范圍內可以認為對焦完成 。

1.5 調制傳遞函數

調制傳遞函數（MTF）是空間頻率的傳輸函數，是用來表征物體圖案傳遞到像的忠實度的一種方法，典型的調制傳遞函數的示意圖如下圖所示：

如圖所示，典型的調制傳遞函數的示意圖都會表現為一條向右衰減的曲線，這是因為空間頻率越高（物體圖案中的細節越多〉，鏡頭對物體的再現能力越弱。可以認為高頻率下的高調制傳遞函數值指的是清晰度，而中等頻率下的調制傳遞函數值指的是對比度，下圖展示了該結論：

2 光學系統設計相關參數

2.1 透鏡組合

逆望遠型：第一個透鏡是凹透鏡，第二個透鏡是凸透鏡，整體作用等效于只在位置 A 處放置了一個透鏡，因此，整個透鏡組長度相對于其焦距而言很長。它經常被應用
在廣角鏡頭和緊湊型數碼相機變焦鏡頭中：

望遠型第一個透鏡是凸透鏡 ，第 二個透鏡是凹透鏡，整體作用等效于只在位置 B 處放置了一個透鏡，這種組合結構使得整個透鏡組的長度可能短于焦距 。它被廣泛應用在長焦鏡頭和緊湊型膠片相機的變焦鏡頭中：

2.2 低通濾波器

成像元件中的像素間距是固定的，這將致使物體通過透鏡形成的圖像和成像元件中的圖像發生重疊 ，從而導致莫爾效應 。 插入低通濾波器的目的在于減小這種效應的影響 。 為了防止高頻成分導致莫爾效應（偽色圖），高于奈奎斯特頻率的頻率成分都應該被消除 。鏡頭的功能不會在高頻時突然消失，為了確保鏡頭在低頻時調制傳遞函數足夠高，同時具備高分辨能力。因此成像鏡頭和低筒濾波器的調制傳遞函數通常如下圖（a）和圖（b）所示。

2.3 鍍膜

對于一個沒有鍍膜的透鏡，其表面對于垂直入射光的反射比隨著所使用玻璃的折射率不同而發生變化，如下式所示：$$R={\left(\frac{n_{\mathrm{g}}?1}{n_{\mathrm{g}}+1}\right)}^2$$其中，$n_{\mathrm{g}}$是玻璃的折射率。

當只鍍有一層膜時，透鏡表面關于垂直入射光的反射比由下式給出：$$R^{\prime }={\left(\frac{n_{\mathrm{g}}?n_{\mathrm{f}}^2}{n_{\mathrm{R}}+n_{\mathrm{f}}^2}\right)}^2$$其中，$n_{\mathrm{f}}$是是涂層的折射率且$n_{\mathrm{f}}$與涂層厚度的乘積是光波長的1/4 。根據這個等式，對于折射率為 1.5 的玻璃，我們必須使用折射率為 1.22 的膜材料才能完全消除對一種特定波長的光的反射 。 然而，涂層的最低折射率在 1.33 ~1.38之間，所以只使用一層涂層無法實現零反射。對于折射率為 1.9 的玻璃，即使只有一層涂層，也可以完全消除對某些波長的光的反射，但是理所當然地，對其他波長的光的反射仍然存在 。

當鍍有兩層膜時，反射比由下式給出：$$R^{\prime \prime }={\left(\frac{n_1^2{n}_{\mathrm{g}}?n_2^2}{n_1^2{n}_{\mathrm{g}}?n_2^2}\right)}^2$$其中，$n_1$是直接覆蓋在玻璃上的內部涂層的折射率， $n_2$是與空氣接觸的外部涂層的折射率.根據這個等式，在折射率為1.5的玻璃上鍍上折射率之比為1.22的兩層膜就有可能至少消除對于某些特定波長的反射 。

如下為膜層的反射比與波長的關系：

2.4 非球面鏡

一個非球面透鏡的作用大體與兩到 三個球面透鏡的作用相當，如下圖所示：
如圖所示，傳統的鏡頭也使用了一個非球面透鏡單元，但通過使用較高折射率的玻璃，目前這兩個凹透鏡（其中一個是非球面的）可以成功被單個凹的非球面透鏡代替。這是一個在透鏡變短變窄的同時仍能提高性能的很好的例子。

2.5 角度波動

如果縮放和對焦使得成像透鏡的出射光線的角度變化太大，就會出現問題，如成像元件微型透鏡中的暗角，以及低通作用的變化。

在2.1節中我們討論了逆望遠型配置和望遠型配置兩種鏡頭組合，這里我們討論他們的角度變化情況（在書中前后文對于這兩種配置的定義好像有矛盾，有點不太理解）：

凸透鏡組在靠近物體一端而凹透鏡組在靠近膠片一端的逆望遠型配置，廣角模式和遠景模式之間存在明顯的角度變化，而且光線的角度總是近似與光軸不平行如下圖所示：
凸透鏡組在靠近膠片一端而凹透鏡組在靠近物體一端的望遠型配置，廣角模式和遠景模式之間沒有太大區別，而且光線的角度總是近似與光軸平行，如下圖所示：

至此總結完畢，我覺得愛好攝影的同學這一部分知識應該是很熟悉的，如有錯誤，歡迎指正~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像传感器与信号处理——光学系统的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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