圖像降噪算法——Variance Stabilizing Transform / Generalization Anscombe Transform算法

• 圖像降噪算法——Variance Stabilizing Transform / Generalization Anscombe Transform算法
• • 1. 基本原理
  • 2. matlab代碼
  • 3. 補(bǔ)充

圖像降噪算法——Variance Stabilizing Transform / Generalization Anscombe Transform算法

1. 基本原理

Variance Stabilizing Transform算法指將高斯泊松噪聲轉(zhuǎn)化為高斯噪聲的一系列算法，對(duì)該算法最早的研究開(kāi)始于1918年，可以說(shuō)是非常經(jīng)典了，其在圖像降噪上的應(yīng)用可以參考坦佩雷大學(xué)Alessandro Foi組的一系列工作，著名的BM3D算法也是由這個(gè)組提出的，這里我們主要介紹其中應(yīng)用較為廣泛的的Generalization Anscombe Transform算法。

首先，我們知道，實(shí)際由圖像傳感器拍攝的圖像上的噪聲是接近高斯泊松噪聲，高斯噪聲部分好理解，通常由熱噪聲造成，而泊松噪聲主要是由于光照響應(yīng)非均勻性造成的，所謂光照響應(yīng)非均勻性就是說(shuō)傳感器接受光子的不確定性是和信號(hào)相關(guān)的。下圖就展示了高斯泊松噪聲的特點(diǎn)，方差曲線隨著均值增大而逐漸升高的部分即為泊松噪聲，而方差曲線上抖動(dòng)的部分即為高斯噪聲。

• *高斯泊松噪聲數(shù)學(xué)建模如下：$$\hat{x}=ap+n$$$$\eta =\hat{x}?\hat{y}$$其中$\eta$就是高斯泊松噪聲，$\hat{x}$為帶噪圖像，$\hat{y}$為無(wú)噪圖像，$a$為泊松噪聲增益，$p～\mathcal{P}(\hat{y}/a)$為泊松噪聲部分，其均值$m$和方差$v$滿足$m=v=\hat{y}/a$**，$n～\mathcal{N}\left(m,{\hat{\sigma }}^2\right)$為高斯噪聲部分

我們目前使用的大多數(shù)算法，例如NLM, BM3D，都是針對(duì)高斯噪聲模型設(shè)計(jì)的，其效果在高斯泊松噪聲圖像上會(huì)大打折扣，如果我們能有這么一種變換將高斯泊松噪聲轉(zhuǎn)化為高斯噪聲，對(duì)高斯噪聲降噪后再將圖像變換回去，不就非常完美了嗎，這種變換就是Generalization Anscombe Transform算法。下面介紹該變換：

正變換：$$f(\hat{x})=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{a}\sqrt{a\hat{x}+\frac{3}{8}{a}^2+{\hat{\sigma }}^2?am},& \hat{x}>?\frac{3}{8}a?\frac{{\hat{\sigma }}^2}{a}+m\\ 0,& \hat{x}\le ?\frac{3}{8}a?\frac{{\hat{\sigma }}^2}{a}+m\end{array}$$如果我們對(duì)增益進(jìn)行歸一化$$x=\frac{\hat{x}?m}{a},\sigma =\frac{\hat{\sigma }}{a}$$也就是說(shuō)如果我們將輸入圖像歸一化為一個(gè)單位泊松變量疊加一個(gè)均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為$\sigma$的高斯噪聲，那么該變換可以簡(jiǎn)化為$$f_{\sigma }(x)=\{\begin{array}{ll}2\sqrt{x+\frac{3}{8}+{\sigma }^2},& x>?\frac{3}{8}?{\sigma }^2\\ 0,& x\le ?\frac{3}{8}?{\sigma }^2\end{array}$$
逆變換：
設(shè)$y$為降噪后的圖像，閉合形式可以近似為$$f_{\sigma }(y{)}^{?1}=\frac{1}{4}{y}^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}{y}^{?1}?\frac{11}{8}{y}^{?2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}{y}^{?3}?\frac{1}{8}?{\sigma }^2$$當(dāng)$\sigma$和$y$特別大時(shí)，其漸近逆為：$$f_{\sigma }(y{)}^{?1}=\frac{1}{4}{y}^2?\frac{1}{8}?{\sigma }^2$$

我們可以來(lái)看下Generalized Anscombe Transform算法正變換后方差如下圖(b)所示：

可以看到，當(dāng)$\sigma =0.01,,1,2,3$時(shí)，通過(guò)正變換后方差穩(wěn)定在1左右，而不隨$y$發(fā)生變化了，也就是通過(guò)Generalization Anscombe Transform算法將高斯泊松噪聲轉(zhuǎn)變成了高斯噪聲

2. matlab代碼

這個(gè)算法的代碼很簡(jiǎn)單，就不貼在這里了，大家可以去參考matlab代碼Denoising software for Poisson and Poisson-Gaussian data，這里有兩點(diǎn)需要注意：

Generalization Anscombe Transform如果采用的是歸一化形式，在處理圖像時(shí)需要先對(duì)圖像進(jìn)行歸一化操作

Generalization Anscombe Transform并沒(méi)有降噪效果，僅僅是改變了噪聲的形態(tài)，代碼中實(shí)際使用的降噪算法還是BM3D或者NLM，具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果大家去看論文就好

3. 補(bǔ)充

Anscombe Transform為Generalization Anscombe Transfrom的特殊形式，Generalization Anscombe Transform是將高斯泊松噪聲轉(zhuǎn)換為近似高斯分布，而Anscombe Transform可以將泊松分布轉(zhuǎn)換為近似高斯分布。例如，泊松分布變量$x～\mathcal{P}(\hat{x})$，有$m=v=\hat{x}$，Anscombe Transform正變換為：$$A:x\to 2\sqrt{x+\frac{3}{8}}$$Anscombe Transform逆變換為：$$A^{?1}:y\to {\left(\frac{y}{2}\right)}^2?\frac{3}{8}$$以上形式逆變換為代數(shù)逆，該逆變換會(huì)給均值引入不友好的偏置，因此還有一個(gè)精確無(wú)偏逆的閉合形式的近似解：$$y\to \frac{1}{4}{y}^2+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}{y}^{?1}?\frac{11}{8}{y}^{?2}+\frac{5}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}{y}^{?3}?\frac{1}{8}$$

Genrealization Anscombe Transform的推到過(guò)程可以參考博客VST變換

我們可以從另一個(gè)角度來(lái)理解高斯泊松噪聲這個(gè)問(wèn)題，高斯泊松噪聲實(shí)際上就是信號(hào)強(qiáng)的地方噪聲大，信號(hào)小的地方噪聲小這樣一個(gè)噪聲分布，Generalization Anscombe Transform是通過(guò)將不同區(qū)域噪聲變得一致來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，那在設(shè)計(jì)降噪算法的時(shí)候是不是也可以通過(guò)在不同區(qū)域?qū)嵤┎煌瑥?qiáng)度的降噪水平來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？

此外，這里我寫一個(gè)各種算法的總結(jié)目錄圖像降噪算法——圖像降噪算法總結(jié)，對(duì)圖像降噪算法感興趣的同學(xué)歡迎參考

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图像降噪算法——Variance Stabilizing Transform / Generalization Anscombe Transform算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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