第2章泛函的極值

第2章 泛函的極值

, , 如果, 當 (或者說)時, 有

那么, 我們稱在處是連續的, 記為。

2.1.2 函數的可微性

更進一步, 如果存在, 使得

那么我們稱在處是可微的, 或者說存在(一階)導數,記為

或者記為

其中為梯度算子(或者Hamilton算子, 見附1)。同理, 可以定義該函數的兩階導數

及更高階導數。 這里也稱為Jacobi矩陣。

如果函數在某點足夠光滑, 那么我們就可以在該點附近把函數作以下的展開

其中為高階小量, 分別為函數的一階微分和兩階微分。

換個角度來看, 如果

其中為的線性函數, 而為的兩次函數, 那么為的一階微分, 為的兩階微分。

2.1.3 函數的極值

對于足夠小的, 如果，總有, 那么我們稱在有極大值。 如果，總有, 那么我們稱在有極小值。這里為的鄰域。

如果在某一點附近足夠光滑, 那么在有極值的必要條件為

或者說

更進一步, 如果, 那么在有極大(小)值的充分條件為

或者說是

其中表示是負定矩陣。

2.2泛函的極值

2.2.1函數的鄰域

定義在區間上的函數的一階鄰域定義為: 對于, 始終滿足

我們稱同時滿足上述兩式的函數的集合是的一階鄰域。同樣可以定義函數的高階鄰域。

2.2.2泛函的極值

變分引理: 如果函數, 對于在上滿足的、足夠光滑的任意函數, 如果總是成立

那么在必有

證明: 用反證法。 假設有使得, 不失一般性設 。由, 一定存在, 使

這樣我們總可以構造下面一個連續函數

其中

可以證明

這樣

顯然與引理條件矛盾, 所以對于任意的都有

以上結果容易推廣到二維或更高維的情形。

如果泛函在的一階鄰域內都不大(小)于, 那么我們稱泛函在有極大(小)值。 也就是說

, (2.2.1)

使取到極值的函數稱為極值函數。

下面從最簡單的泛函來討論使泛函取到極值的必要條件。

如果使取到極值, 則對于的一階鄰域內的函數應有

或者

現在用變分引理導出泛函取極值的必要條件。取

由于, 因此

當足夠小的時候, 屬于的鄰域。當以及給定以后, 應該是關于的函數

因為在處取極值, 應該是的極值點。根據函數極值的必要條件

這就意味著

如果令

那么有

考慮到的任意性，根據變分引理有

(2.2.2)

這就是該泛函極值問題的Euler方程。

如果只限定、而放松處的要求，則定義域 (2.2.3)

若是泛函在上的極值，限定

則必是泛函在上的極值，根據(2.2.2) (2.2.4)

代入(2.2.3)并考慮的任意性可得

(2.2.5)

要使在處取極值, 那么意味著必須同時滿足(2.2.4)和(2.2.5)

對于更一般的泛函我們同樣可以得到下面的泛函極值定理。

定理2.1 如果泛函在上達到極值，那么泛函在上的一階變分滿足

證明：

根據泛函極值的定義，如果泛函在上達到極大值, 那么必定存在的一個領域, 對于該領域內的任何一個函數, 使得泛函的增量不變號, 由前面的推導(1.4.6)

其中

顯然, 當充分小時, 的符號由部分確定。如果, 我們總是可以調整的符號使得改變符號, 這與假設矛盾。 因此是泛函有極值的必要條件。

盡管不是泛函有極值的充分條件，但往往仍有意義。對于僅僅滿足的泛函，我們稱在該點取駐值。

2.2.3 泛函的Euler方程

由泛函所得到的微分方程(包括邊界條件)稱為泛函的Euler方程。

例2.1

的Euler方程為

例2.2

得到

上式稱為Sturm-Liouville方程。結合邊界條件, 構成第一邊值問題的Sturm-Liouville問題。

例2.3

上述泛函可以寫成

其一階變分為

根據格林公式有

當邊界上值給定時, ，可以得到相應的Euler方程

這是一個Laplace 方程。如果只在部分邊界上給定函數值，這里，則除上述的Laplace 方程外還應滿足

例2.4

其中及其法向導數在的邊界上

總結

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