我們經(jīng)常會(huì)碰到幾個(gè)名詞很相近的一些數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，例如奇異矩陣、奇異值、奇異值分解、奇異性，經(jīng)常會(huì)混淆，這里把它們的定義放在一起，做一下總結(jié)：

1.奇異矩陣：

奇異矩陣是線性代數(shù)的概念，就是該矩陣的秩不是滿秩。

• 首先，看這個(gè)矩陣是不是方陣，即行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣，若行數(shù)和列數(shù)不相等，那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣;
• 然后，再看此矩陣的行列式$|A|$是否等于0，若$|A|=0$，稱矩陣$A$為奇異矩陣；若$|A|=0$，稱矩陣$A$為非奇異矩陣。
• 同時(shí)，由$|A|=0$可知矩陣A可逆，這樣可以得出另外一個(gè)重要結(jié)論:可逆矩陣就是非奇異矩陣，非奇異矩陣也是可逆矩陣。
• 如果$A$為奇異矩陣，則 $AX=0$ 有無(wú)窮解，$AX=b$ 有無(wú)窮解或者無(wú)解;
• 如果$A$為非奇異矩陣，則 $AX=0$ 有且只有唯一零解，$AX=b$ 有唯一解。

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2.奇異值和奇異值分解：

這篇博客奇異值的物理意義是什么，是講解奇異值的作用，有例子分析使用奇異值分解來(lái)進(jìn)行圖像壓縮與圖像去噪，并且對(duì)于不是方陣的矩陣也可以分解。

圖像壓縮與圖像去噪用的方法都是奇異值分解，過(guò)程也是一樣，但是他們的目的不一樣：

• 當(dāng)我們想要壓縮圖像進(jìn)行傳輸時(shí)，我們可以用奇異值分解；
• 當(dāng)我們想要對(duì)圖像進(jìn)行去噪時(shí)，我們也可以用奇異值分解；

這就像，我們想要看電影，我們可以使用電腦；我們想要打游戲，我們也可以使用電腦。

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該博客的核心是：

這里做一下說(shuō)明：$u$、$v$都是列向量，$u$列向量的維度等于$A_{m?n}$的行數(shù)m、$v$列向量的維度等于$A$的列數(shù)n，那么 $u{v}^T$就是 (mx1)*(1xn)=mxn的矩陣，但是$u{v}^T$的秩必定為1。
例如：
$$?\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}??\left[\begin{array}{ccc}6& 7& 8\end{array}\right]=?\begin{array}{ccc}1?6& 1?7& 1?8\\ 2?6& 2?7& 2?8\\ 3?6& 3?7& 3?8\end{array}?$$
可以看到，上面等式右邊的矩陣秩必定為1。

【奇異值分解】 在 【圖像壓縮】 的運(yùn)用：

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這篇博客奇異值分解是講解怎么進(jìn)行SVD奇異值分解，包括求$U$、$V$、奇異值矩陣$\Sigma$。主要內(nèi)容如下：

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3.奇異性：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数学与算法】奇异矩阵、奇异值、奇异值分解、奇异性的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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