光滑曲線在數(shù)學(xué)上的定義是什么？？

原文鏈接：光滑曲線在數(shù)學(xué)上的定義是什么?

回答1：
定義:切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其圖形為一條處處有切線的曲線。則為光滑曲線。簡言之，若$f^{\prime }(x)$連續(xù)，則曲線光滑。

但反之，不成立。比如圓，圓在直角坐標(biāo)系下，有兩條豎直的切線，導(dǎo)數(shù)不存在（為∞大）。

回答2：
不敢保證對(duì)。但同糾結(jié)這個(gè)問題，想了許久，有點(diǎn)心得，拿來探討。希望有緣破解心中迷霧：

• 1.光滑，從直觀上是不突兀，流線的。臺(tái)階本質(zhì)上是折線，因此在轉(zhuǎn)折處感覺尖銳，突兀，是為不光滑。例如$y＝丨x丨$在$x＝0$處就很尖銳。$y＝x^2$在 $x＝0$處是一段曲線，看上去用手摸了不會(huì)扎手。
• 2.存在切線，就是在一點(diǎn)附近，曲線無限接近于一條直線。曲線被磨平了，只有這樣，才不扎手。要求切線隨著點(diǎn)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，就是表達(dá)曲線不會(huì)一下子過度太快，無限接近的兩點(diǎn)形狀無限接近。

至于判斷，先直觀想象圖像，再證明。

求一次導(dǎo)，相當(dāng)于把函數(shù)的變化過程放大一次。因此嚴(yán)格的光滑定義要求無限階可導(dǎo)，也就是不管怎么拉大拉平，都是不扎手。

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分段差值：

分段插值: 通常可能指的是直接分段低次線插, 通俗來說 這樣出來的線條不是很平滑. 因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)上不一定可導(dǎo).
直接hermite插值就和一樓說的差不多三次樣條與分段 Hermite 插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑(考慮了二階倒數(shù))，不需要知道 f 的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個(gè)端點(diǎn)可能需要）；
而Hermite插值依賴于f 在所有插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。(S(x)為插值基函數(shù),f為你要插值的函數(shù))

分段三次埃爾米特插值：

可以參考：數(shù)值分析(4)-多項(xiàng)式插值: 埃爾米塔插值法

Hermite 插值就是要求插值函數(shù)不僅經(jīng)過所給節(jié)點(diǎn)，而且要保證在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也相等。

以3個(gè)點(diǎn)為例，想要使用分段3次Hermite 插值求出這三個(gè)點(diǎn)的插值函數(shù)：
分析一下，每一段三次hermite插值多項(xiàng)式 $f(x)=a+b?x+c?x^2+d?x^3$都有4個(gè)未知系數(shù)需要求解，三個(gè)點(diǎn)就是兩段，那么就有2*4=8個(gè)未知數(shù)。8個(gè)未知數(shù)，就需要聯(lián)立8元一次方程組，需要8個(gè)方程：
$$\begin{gathered} S_0(x_0)=y_0 \\ {S}_0(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_2)=y_2 \\ {S}_0^{\prime }(x_1)=S_1^{\prime }(x_1)：一階導(dǎo)數(shù)值相等 \end{gathered}$$
上面有5個(gè)方程，還差3個(gè)方程，這三個(gè)方程從定義中可知，需要知道每個(gè)點(diǎn)$x_0、x_1、x_2$處的導(dǎo)數(shù)。即$S_0^{\prime }(x_0)、S_1^{\prime }(x_1)、S_1^{\prime }(x_2)$的導(dǎo)數(shù)值必須已知，但是實(shí)際工程中是不太可能知道每個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的。因?yàn)?#xff0c;你連原函數(shù)都不知道，怎么能知道導(dǎo)數(shù)值呢？

總結(jié)一下：Hermite插值在實(shí)際使用的時(shí)候沒有多大意義，同時(shí)知道點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)，還假裝不知道原函數(shù)的情況，不多(PS:都知道導(dǎo)數(shù)了有什么計(jì)算的必要？)

所以，一般用牛頓，牛頓大法好！

分段三次樣條插值：

推薦參考【三次樣條（cubic spline）插值】
可以參考【數(shù)值分析(5)-分段低次插值和樣條插值】

三次多項(xiàng)式有兩種形式，很自然的，我們會(huì)想到第一種，如下：

$$y=a_i+b_{i}x+c_i{x}^2+d_i{x}^3\text{\hspace{1em}(1)}$$
我們還有第二種寫法，下面的曲線表達(dá)式經(jīng)過$(x_i,y_i)$：
$$y=a_i+b_i(x?x_i)+c_i(x?x_i{)}^2+d_i(x?x_i{)}^3\text{\hspace{1em}(2)}$$
把上面(2)這個(gè)展開后，變成了：
$$y=(a_i?b_i{x}_i+c_i{x}_i^2?d_i{x}_i^3)+(b_i?2c_i{x}_i+3d_i{x}_i^2)x+(c_i?3d_i{x}_i)x^2+d_i{x}^3$$
所以兩種形式的寫法都對(duì)，最終求出來的$a_i、b_i、c_i、d_i$雖然是不同的值，但是最終的表達(dá)式肯定是一樣的。因?yàn)榈诙N寫法的$a_i、b_i、c_i、d_i$并不是真正的系數(shù)，不過第二種寫法在推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式時(shí)很方便。

有點(diǎn)類似于我們小學(xué)時(shí)候?qū)W的$y=kx+b$和$y?y_i=k(x?x_i)$的樣子，都是兩種表示方法。

對(duì)于分段三次樣條插值，就比分段三次hermite多項(xiàng)式插值多了一個(gè)條件，即各點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)相等。還是以三個(gè)點(diǎn)為例：
$$\begin{gathered} S_0(x_0)=y_0 \\ {S}_0(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_1)=y_1 \\ {S}_1(x_2)=y_2 \\ {S}_0^{\prime }(x_1)=S_1^{\prime }(x_1)：x_1處一階導(dǎo)數(shù)值相等 \\ {S}_0^{\prime \prime }(x_1)=S_1^{\prime \prime }(x_1)：x_1處二階導(dǎo)數(shù)相等 \end{gathered}$$
然后再利用三類邊界條件中的其中一種邊界條件，即可以從兩個(gè)端點(diǎn)$x_0、x_2$處再得到兩個(gè)方程。

三類邊界條件：

用下面的解釋更容易明白：
例如一系列節(jié)點(diǎn) $x_0、x_1、......、x_{n?1}、x_n$，其中$x_0、x_n$是兩個(gè)端點(diǎn)(也叫邊界點(diǎn))，三類邊界條件如下：

• 自然邊界:
  兩個(gè)端點(diǎn)即邊界點(diǎn)的二階導(dǎo)都為0；
  $S_0^{\prime \prime }(x_0)=0$
  $S_n^{\prime \prime }(x_{n?1})=0$。
• 夾持邊界:
  由邊界點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)給定，例如分別給兩個(gè)邊界點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)設(shè)定為$A$和$B$；
  $S_0^{\prime }(x_0)=A$
  $S_n^{\prime }(x_{n?1})=B$。
• 非扭結(jié)邊界:
  使兩個(gè)邊界端點(diǎn)的三階導(dǎo)與這兩端點(diǎn)的鄰近點(diǎn)的三階導(dǎo)相等。那么令
  $S_0^{\prime \prime \prime }(x_0)=S_0^{\prime \prime \prime }(x_1)$
  $S_n^{\prime \prime \prime }(x_{n?1})=S_n^{\prime \prime \prime }(x_n)$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数学与算法】【分段三次Hermite插值】和【分段三次样条插值】的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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