Kendall Rank（肯德尔等级）相关系数
1、簡(jiǎn)介
在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，肯德爾相關(guān)系數(shù)是以Maurice Kendall命名的，并經(jīng)常用希臘字母τ（tau）表示其值。肯德爾相關(guān)系數(shù)是一個(gè)用來測(cè)量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)值。一個(gè)肯德爾檢驗(yàn)是一個(gè)無參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，它使用計(jì)算而得的相關(guān)系數(shù)去檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)依賴性。肯德爾相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到1之間，當(dāng)τ為1時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量擁有一致的等級(jí)相關(guān)性；當(dāng)τ為-1時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量擁有完全相反的等級(jí)相關(guān)性；當(dāng)τ為0時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。
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假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量分別為X、Y（也可以看做兩個(gè)集合），它們的元素個(gè)數(shù)均為N，兩個(gè)隨即變量取的第i（1<=i<=N）個(gè)值分別用Xi、Yi表示。X與Y中的對(duì)應(yīng)元素組成一個(gè)元素對(duì)集合XY，其包含的元素為(Xi, Yi)（1<=i<=N）。當(dāng)集合XY中任意兩個(gè)元素(Xi, Yi)與(Xj, Yj)的排行相同時(shí)（也就是說當(dāng)出現(xiàn)情況1或2時(shí)；情況1：Xi>Xj且Yi>Yj，情況2：Xi<Xj且Yi<Yj），這兩個(gè)元素就被認(rèn)為是一致的。當(dāng)出現(xiàn)情況3或4時(shí)（情況3：Xi>Xj且Yi<Yj，情況4：Xi<Xj且Yi>Yj），這兩個(gè)元素被認(rèn)為是不一致的。當(dāng)出現(xiàn)情況5或6時(shí)（情況5：Xi=Xj，情況6：Yi=Yj），這兩個(gè)元素既不是一致的也不是不一致的。
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這里有三個(gè)公式計(jì)算肯德爾相關(guān)系數(shù)的值
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公式一：
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其中C表示XY中擁有一致性的元素對(duì)數(shù)（兩個(gè)元素為一對(duì)）；D表示XY中擁有不一致性的元素對(duì)數(shù)。
注意：這一公式僅適用于集合X與Y中均不存在相同元素的情況（集合中各個(gè)元素唯一）。
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公式二：
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注意：這一公式適用于集合X或Y中存在相同元素的情況（當(dāng)然，如果X或Y中均不存在相同的元素時(shí)，公式二便等同于公式一）。
其中C、D與公式一中相同；
；；
N1、N2分別是針對(duì)集合X、Y計(jì)算的，現(xiàn)在以計(jì)算N1為例，給出N1的由來（N2的計(jì)算可以類推）：
將X中的相同元素分別組合成小集合，s表示集合X中擁有的小集合數(shù)（例如X包含元素：1 2 3 4 3 3 2，那么這里得到的s則為2，因?yàn)橹挥?、3有相同元素），Ui表示第i個(gè)小集合所包含的元素?cái)?shù)。N2在集合Y的基礎(chǔ)上計(jì)算而得。
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公式三：
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注意：這一公式中沒有再考慮集合X、或Y中存在相同元素給最后的統(tǒng)計(jì)值帶來的影響。公式三的這一計(jì)算形式僅適用于用表格表示的隨機(jī)變量X、Y之間相關(guān)系數(shù)的計(jì)算（下面將會(huì)介紹）。
參數(shù)M稍后會(huì)做介紹。
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以上都是圍繞用集合表示的隨機(jī)變量而計(jì)算肯德爾相關(guān)系數(shù)的，下面所講的則是圍繞用表格表示的隨機(jī)變量而計(jì)算肯德爾相關(guān)系數(shù)的。
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通常人們會(huì)將兩個(gè)隨機(jī)變量的取值制作成一個(gè)表格，例如有10個(gè)樣本，對(duì)每個(gè)樣本進(jìn)行兩項(xiàng)指標(biāo)測(cè)試X、Y（指標(biāo)X、Y的取值均為1到3）。根據(jù)樣本的X、Y指標(biāo)取值，得到以下二維表格（表1）：
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由表1可以得到X及Y的可以以集合的形式表示為：
X={1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3}；
Y={1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3}；
得到X、Y的集合形式后就可以使用以上的公式一或公式二計(jì)算X、Y的肯德爾相關(guān)系數(shù)了（注意公式一、二的適用條件）。
當(dāng)然如果給定X、Y的集合形式，那么也是很容易得到它們的表格形式的。
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這里需要注意的是：公式二也可以用來計(jì)算表格形式表示的二維變量的肯德爾相關(guān)系數(shù)，不過它一般用來計(jì)算由正方形表格表示的二維變量的肯德爾相關(guān)系數(shù)，公式三則只是用來計(jì)算由長方形表格表示的二維變量的Kendall相關(guān)系數(shù)。這里給出公式三中字母M的含義，M表示長方形表格中行數(shù)與列數(shù)中較小的一個(gè)。表1的行數(shù)及列數(shù)均為三。
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2、適用范圍?
肯德爾相關(guān)系數(shù)與斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)條件的要求相同，可參見統(tǒng)計(jì)相關(guān)系數(shù)(2)--Spearman Rank(斯皮爾曼等級(jí))相關(guān)系數(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)中介紹的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)條件的要求。
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3、Matlab實(shí)現(xiàn)
源程序一：
肯德爾相關(guān)系數(shù)的Matlab實(shí)現(xiàn)（依據(jù)公式二得到）
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function coeff = myKendall(X , Y) % 本函數(shù)用于實(shí)現(xiàn)肯德爾等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算操作 % % 輸入： % X：輸入的數(shù)值序列 % Y：輸入的數(shù)值序列 % % 輸出： % coeff：兩個(gè)輸入數(shù)值序列X，Y的相關(guān)系數(shù)if length(X) ~= length(Y)error('兩個(gè)數(shù)值數(shù)列的維數(shù)不相等');return; end%將X變?yōu)樾行蛄?#xff08;如果X已經(jīng)是行序列則不作任何變化） if size(X , 1) ~= 1X = X'; end %將Y變?yōu)樾行蛄?#xff08;如果Y已經(jīng)是行序列則不作任何變化） if size(Y , 1) ~= 1Y = Y'; endN = length(X); %得到序列的長度 XY = [X ; Y]; %得到合并序列 C = 0; %一致性的數(shù)組對(duì)數(shù) D = 0; %不一致性的數(shù)組對(duì)數(shù) N1 = 0; %集合X中相同元素總的組合對(duì)數(shù) N2 = 0; %集合Y中相同元素總的組合對(duì)數(shù) N3 = 0; %合并序列XY的總對(duì)數(shù) XPair = ones(1 , N); %集合X中由相同元素組成的各個(gè)子集的元素?cái)?shù) YPair = ones(1 , N); %集合Y中由相同元素組成的各個(gè)子集的元素?cái)?shù) cont = 0; %用于計(jì)數(shù)%計(jì)算C與D for i = 1 : N - 1for j = i + 1 : Nif abs(sum(XY(: , i) ~= XY(: , j))) == 2 switch abs(sum(XY(: , i) > XY(: , j)))case 0C = C + 1;case 1D = D + 1;case 2C = C + 1;endendend end%計(jì)算XPair中各個(gè)元素的值 while length(X) ~= 0cont = cont + 1;index = find(X == X(1));XPair(cont) = length(index);X(index) = []; end %計(jì)算YPair中各個(gè)元素的值 cont = 0; while length(Y) ~= 0cont = cont + 1;index = find(Y == Y(1));YPair(cont) = length(index);Y(index) = []; end%計(jì)算N1、N2及N3的值 N1 = sum(0.5 * (XPair .* (XPair - 1))); N2 = sum(0.5 * (YPair .* (YPair - 1))); N3 = 0.5 * N * (N - 1);coeff = (C - D) / sqrt((N3 - N1) * (N3 - N2));end %函數(shù)myKendall結(jié)束
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源程序二：
使用Matlab中已有的函數(shù)計(jì)算肯德爾相關(guān)系數(shù)
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coeff = corr(X , Y , 'type' , 'Kendall');
注意：使用Matlab自帶函數(shù)計(jì)算肯德爾相關(guān)系數(shù)時(shí)，需要保證X、Y均為列向量；Matlab自帶的函數(shù)是通過公式二計(jì)算序列的肯德爾相關(guān)系數(shù)的。
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這里還有另外一種不是計(jì)算肯德爾相關(guān)系數(shù)的公式（僅適用于集合X與Y中均不存在相同元素的情況，實(shí)際上其與公式一等價(jià)），可見參考文獻(xiàn)(3)。
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4、參考內(nèi)容
(1)、http://en.wikipedia.org/wiki/Kendall_tau_rank_correlation_coefficient
(2)、http://www.unesco.org/webworld/idams/advguide/Chapt4_2.htm
(3)、http://www.wikidoc.org/index.php/Kendall_tau_rank_correlation_coefficient
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作者：wsywl
來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/wsywl/article/details/5889419
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的Kendall Rank（肯德尔等级）相关系数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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