UA MATH565C 隨機微分方程I SDE的定義與例子

• 隨機微分方程的定義
• • 白噪聲過程
  • SDE的一般形式
• 例子：Ornstein-Uhlenbeck過程

隨機微分方程的定義

經典力學中描述一個確定性系統的演化過程通常可以用微分方程，比如ODE
$$\frac{dx}{dt}=b(x),x(0)=x_0,x,b(x)\in {\mathbb{R}}^n$$
但統計物理中系統都不會是確定性的，因此一般需要給這個ODE加一個噪聲，假設噪聲項是$\sigma (x){\eta }_t$，則
$$\frac{d{x}_t}{dt}=b(x_t)+\sigma (x_t){\eta }_t$$
通常稱$b(x)$為漂移項，$\sigma (x)$為噪聲的強度，${\eta }_t$是白噪聲。為了讓這個定義有意義，需要定義一下白噪聲。

白噪聲過程

白噪聲${\eta }_t$是一個隨機過程，假設概率空間為$(\Omega ,\mathcal{F},P)$，假設$t\in \mathcal{T}=[0,+\infty )$，則${\eta }_t$可以看成映射：
$${\eta }_t:(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F}?\mathcal{B}(\mathcal{T}),P?\lambda )\to ({\mathbb{R}}^m,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m))$$
其中$\mathcal{B}(\mathcal{T})$是$\mathcal{T}$生成的Borel $\sigma$代數，$\lambda$是可測空間$(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{T})$上的Lebesgue測度。${\eta }_t$滿足下面三條公理化定義：

$E{\eta }_t=0,?t\in \mathcal{T}$

$E{\eta }_t{\eta }_s={\sigma }^2{\delta }_{ts},?t,s\in \mathcal{T},{\sigma }^2<+\infty$

高斯過程

但這個定義有一個缺點，即滿足這個定義的隨機過程路徑函數不可測。給定$w\in \Omega$，${\eta }_t(w)$是一個確定性的映射：
$${\eta }_t(w):(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{T}),\lambda )\to ({\mathbb{R}}^m,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m))$$
這個叫路徑函數（path function）或者叫這個隨機過程的一個實現（realization）。
定理1 白噪聲過程的路徑函數不可測。
證明的時候考慮更一般的白噪聲，即去掉假設3，正式的敘述為：

以及給一個我自己寫的比較簡陋的證明：

更完整的敘述可以看Oksendal的Stochastic Differential Equation的第二章。

為了讓它的路徑函數可測，通常將定義2修正為：

$E{\eta }_t{\eta }_s={\delta }_{ts}$

根據上面1、2、3定義的隨機過程${\eta }_t$就是白噪聲過程（更準確地，高斯白噪聲）。

SDE的一般形式

現在重新考慮
$$\begin{gathered} \frac{d{x}_t}{dt}=b(x_t)+\sigma (x_t){\eta }_t \\ ?d{x}_t=b(x_t)dt+\sigma (x_t){\eta }_{t}dt \end{gathered}$$
對于${\eta }_{t}dt$，假設它是某個隨機過程$W_t$的全微分，即
$$d{W}_t={\eta }_{t}dt?W_t={\int }_0^t{\eta }_{s}ds$$
積分的本質就是部分和的極限，這些運算保證$W_t$也是一個高斯過程。事實上我們一般稱$W_t$為Wiener過程或者Brown運動，下一講會正式定義Wiener過程。有了這個定義后，可以寫出SDE的一般形式：
$$d{x}_t=b(x_t)dt+\sigma (x_t)d{W}_t$$
已知初值的情況下，可以寫出這個式子的積分：
$$x_t=x_0+{\int }_0^{t}b(x_s)ds+{\int }_0^t\sigma (x_s)d{W}_s$$
搞清楚了右邊這兩個積分，我們就可以找到SDE的解了。第一個積分是
$${\int }_0^{t}b(x_s)ds$$
可以看成是對$b(x_s)$的每一個路徑函數積分，這個就是實分析的內容不用多討論；第二個積分是
$${\int }_0^t\sigma (x_s)d{W}_s$$
一般稱其為Ito積分，下下講會給出Ito積分的正式定義。Ito隨機分析框架的目標就是求解上面的定義的SDE。

一個更一般的觀點是并不給定${\eta }_t$的具體形式，把SDE看成是隨機過程${\eta }_t$到隨機過程$x_t$的變換。

例子：Ornstein-Uhlenbeck過程

考慮用如下SDE定義的初值為$x_0$的隨機過程$x_t$：
$$d{x}_t=?k{x}_{t}dt+?d{W}_t,k,?>0$$
現在還沒有講過SDE的解法，所以先直觀地思考一下這個方程。首先我們發現，$?d{W}_t$是時間$dt$內的噪聲項，排除掉噪聲，原始的系統是
$$dx=?kxdt$$
這個系統的解就是$x(t)=x_0{e}^{?kt}$，一般用來描述衰變等過程，這個解換個寫法就是$x(t)e^{kt}=const.$，也就是$d(x(t)e^{kt})=0$。我們可以根據SDE試圖計算一下$d(x_t{e}^{kt})$：
$$\begin{gathered} d(x_t{e}^{kt})=e^{kt}d{x}_t+d(e^{kt})x_t \\ =e^{kt}(?k{x}_{t}dt+?d{W}_t)+k{e}^{kt}{x}_{t}dt=?e^{kt}d{W}_t \end{gathered}$$
也就是說隨機過程$x_t{e}^{kt}$的全微分只含有噪聲項，求積分：
$$\begin{gathered} x_t{e}^{kt}=x_0+?{\int }_0^t{e}^{ks}d{W}_s \\ ?x_t=x_0{e}^{?kt}+?{\int }_0^t{e}^{?k(t?s)}d{W}_s \end{gathered}$$
這個就是上面那個SDE的解。這個包含一個確定項和一個隨機過程，確定項正好是不考慮噪聲的ODE的解。

總結

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