UA MATH565C 隨機微分方程V Markov Family簡介

• Transition function
• Banach Space Method

ODE的IVP可以看成是對系統的一些變量從初始狀態開始的動態變化過程的建模，與之類似，SDE也可以看成是從初始分布開始的系統的隨機動態變化的過程。為了從變換的觀點研究SDE，這一講介紹Markov性、Markov Family等概念。

Transition function

先定義Markov Family的transition function，在概率空間$(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P)$中定義transition function為$P(s,x,t,\Gamma )$：

給定$s,x,t$，這個函數就是這個概率空間的概率測度；

關于$x$是可測函數；

$P(s,x,s,?)={\delta }_x$

這個記號有點抽象，但它就是我們熟悉的Markov轉移概率。可以把$x$理解為初始狀態，$s$為開始的時刻，$t$為結束的時刻，$\Gamma$是最終狀態的一個集合，所以這個函數的含義是在$s$時刻從$x$狀態開始到$t$時刻轉移到$\Gamma$中的某個狀態的概率。

假設${\xi }_t$是$(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P)$上的一個Markov Process，則它的transition function是：$?s\le t,x\in \Omega ,\Gamma \in {\mathcal{F}}_t$
$$P({\xi }_t\in \Gamma |{\xi }_s)=P(s,{\xi }_s,t,\Gamma )$$
這個敘述幾乎必然地等價于
$$P({\xi }_t\in \Gamma |{\mathcal{F}}_s)=P(s,{\xi }_s,t,\Gamma )$$
或者更一般地，對于有界的$f\in m{\mathcal{F}}_t$
$$E[f({\xi }_t)|{\mathcal{F}}_s]={\int }_{\Omega }f(y)P(s,x,t,dy)$$

定義Markov Family為$({\xi }_t,P(s,x,t,\Gamma )$滿足：

${\xi }_t,t\ge s$是定義在$(\Omega ,{\mathcal{F}}_t,P_{s,x})$上的Markov過程；

這個Markov過程的轉移函數是$P(s,{\xi }_s,t,\Gamma )$；

$P_{s,x}({\xi }_s=x)=1$

因為初始狀態一般視為給定的${\xi }_s=x$。Markov Family有如下性質

Markov性 $?B\in {\mathcal{F}}_{\ge t}$，
$$P_{s,x}[B|{\mathcal{F}}_t]=P_{t,{\xi }_t(w)}[B]$$

另外，我們經常需要判斷給定一個隨機過程$\xi$和轉移概率$P$，他們能否構成一個Markov Family。定義
$$P[{\xi }_{t_1}\in {\Gamma }_1,?,{\xi }_{t_n}\in {\Gamma }_n]$$
其中$s\le t_1\le ?\le t_n$，這個叫finite-dimensional distribution。如果
$$P[{\xi }_{t_1}\in {\Gamma }_1,?,{\xi }_{t_n}\in {\Gamma }_n]={\int }_{{\Gamma }_1}P(s,x,t_1,d{y}_1){\int }_{{\Gamma }_2}?{\int }_{{\Gamma }_n}P(t_{n?1},y_{n?1},t_n,d{y}_n)$$
則稱隨機過程$\xi$和轉移概率$P$構成一個Markov Family。主要注意的是它與任一Markov過程最大的區別在于Markov Family具有確定的起點：$P_{s,x}({\xi }_s=x)=1$，而任一Markov過程的起點是隨機的：$P_{s,x}({\xi }_s=x)=\Phi (x)$。

Banach Space Method

這一講就先介紹一點直覺，為什么需要用Banach空間這個結構來研究Markov Family。簡單起見，我們考慮Markov Chain，$\Omega =\{1,2,?,n\}$，一步轉移概率矩陣為$P_{ij}$：
$$P_{ij}=P({\xi }_{k+1}=j|{\xi }_k=i)$$
$z$步轉移矩陣為$P^{(z)}=P^z$：
$$P_{ij}^z=P({\xi }_{k+z}=j|{\xi }_k=i)$$
如果要計算$E[g({\xi }_{t+1})|{\xi }_t=i]$，因為轉移矩陣是有的，所以
$$E[g({\xi }_{t+1})|{\xi }_t=i]=\sum _j{P}_{ij}g(j)=Pg(i)$$
線性代數的觀點的來看，$P$代表的是一個線性變換。對于一般的Markov Family來說，轉移函數$P$就是一個線性算子，這個算子至少可以用來表示
$$E[g({\xi }_t)|{\xi }_s=x]$$
因為線性算子的性質比較好，至少比積分看起來直觀，所以下一講會介紹Markov Family的算子，以及需要的Banach空間的性質。

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總結

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