概率論與數理統計中的算子半群 第一講 Banach-Steinhaus定理1 Baire's Category與Banach-Steinhaus定理的證明

• • Baire's Category Theorem
  • Banach-Steinhaus定理(uniform boundedness principle)

寫在前面

在隨機微分方程那個系列中，我們在討論Markov family的時候引入了Markov family的算子半群，這是一個在概率論與數理統計的理論中非常強大的分析工具。在隨機分析中，算子半群可以用來分析Markov過程與Levy過程的性質，進而分析某些隨機微分方程的解的構造；在統計計算的理論中，算子半群可以用來表達一種MCMC類的算法，這樣就能把算法的收斂與誤差分析化歸為對算子半群的范數的討論。所以我打算單獨開一個系列，介紹概統中的算子半群。

Baire’s Category Theorem

Baire’s Category Theorem是泛函分析中的經典結果，我們先引入這個工具。

nowhere dense
$(X,\Vert ?\Vert )$是一個賦范線性空間，$S$是它的子集；
$?x\in X,?>0$，$B(x,?)=\{y\in X:\Vert y?x\Vert <?\}$被稱為$X$中的open ball；
$?x\in X,?>0$，$\bar{B}(x,?)=\{y\in X:\Vert y?x\Vert \le ?\}$被稱為$X$中的closed ball；
稱$S$ nowhere dense if and only if (in short, iff) $S$的閉包($clS$)不包含任何open ball，另一種表述為任意open ball $B$都有一個open ball子集$B^{\prime }$，使得$S\cap B^{\prime }=?$；

Baire first category set
在拓撲空間中，能被可列個nowhere dense集合的并表示的集合被稱為Baire first category set；

Baire second category set
在拓撲空間中，能被可列個nowhere dense集合或者開集的并表示的集合被稱為Baire second category set，或者不是Baire first category set的集合就是Baire second category set；

Baire’s Category Theorem
Banach空間不能表示成可列個nowhere dense集合的并（也就是說Banach空間不是Baire first category set，它是Baire second category set）

證明思路
用反證法，假設$X$是Banach空間，$\{S_n\}$是可列個nowhere dense集合，并且
$$X=\underset{n\in \mathbb{N}}{?}{S}_n$$

假設$B_0=B(0,1)$，因為$S_1$ nowhere dense，于是$?B_1?B_0$，$B_1$是open ball并且$B_1\cap S_1=?$；我們可以假設$B_1$的半徑小于$1/2$，如果$B_1$的半徑大于$1/2$，我們總是可以找到一個更小的open ball與$S_1$無交；

重復這個過程，$S_2$ nowhere dense，于是存在$B_1$的open ball子集$B_2$使得$S_2$與$B_2$無交且$B_2$的半徑小于$1/3$；

對于一般情形，存在半徑小于$\frac{1}{n+2}$的open ball $B_{n+1}$與$S_{n+1}$無交；

因為${?}_{n\in \mathbb{N}}cl{B}_n$非空（為了更加嚴謹，這個結果需要證明），于是$?x\in cl{B}_n,?n$，那么$x$一定也是Banach空間中的點；但是$B_n$與$S_n$無交，于是$x$不屬于任意$S_n$，所以
$$x\in /\underset{n\in \mathbb{N}}{?}{S}_n$$

這樣我們就說明了$?x\in X,x\in /{?}_{n\in \mathbb{N}}{S}_n$，這與$X={?}_{n\in \mathbb{N}}{S}_n$矛盾。

Banach-Steinhaus定理(uniform boundedness principle)

假設$X$是一個Banach空間，$\{A_n\}$是可列個$X$上的有界線性算子，$?x\in X$，${\sup }_{n\ge 1}\Vert A_{n}x\Vert$有界，則${\sup }_{n\ge 1}\Vert A_n\Vert$有界；

證明思路
定義$$S_n=\{x\in X:\underset{k\ge 1}{\sup }\Vert A_{k}x\Vert \le n\}$$因為有界線性算子等價于連續線性算子，所以$A_n$連續，因此$S_n$是閉集；并且
$$X=\underset{n\ge 1}{?}{S}_n$$

根據Baire’s Category Theorem，$S_n$不是Baire first category set，于是存在一個$S_l$有closed ball子集$\bar{B}(x,r)$，考慮$y\in X$，引入向量
$$z=x+\frac{r}{\Vert y\Vert }y\in \bar{B}(x,r)$$

則
$$\Vert A_{n}y\Vert =\Vert \frac{\Vert y\Vert }{r}{A}_{n}z?\frac{\Vert y\Vert }{r}{A}_{n}x\Vert \le \frac{\Vert y\Vert }{r}\Vert A_{n}z\Vert +\frac{\Vert y\Vert }{r}\Vert A_{n}x\Vert \le \frac{2l}{r}\Vert y\Vert$$

因為$x,z\in \bar{B}(x,r)?S_l$，于是
$$\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert A_n\Vert \le \frac{2l}{r}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计中的算子半群 第一讲 Banach-Steinhaus定理1 Baire‘s Category与Banach-Steinhaus定理的证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。