量子力學 一 基礎1 角動量

• • 角動量的導出
  • 角動量的應用

角動量的導出

角動量(angular momentum)是力學中非常有用的一個量，它與能量、動量等物理量一樣，是運動方程的一種積分，并可以導出相應的守恒律。我們先簡單回顧一下運動方程的積分。

在力學系統的運動過程中，如果系統的自由度為$s$，那么我們可以用一個$s$維的向量$\text{q}$描述系統的空間位置信息，并用它對時間的導數$\dot{\text{q}}$描述系統的速度信息，稱$\text{q}$為廣義坐標，$\dot{\text{q}}$為廣義速度，$(\text{q},\dot{\text{q}})$這$2s$個變量可以描述整個系統的運動。系統的Lagrange函數為$L(\text{q},\dot{\text{q}},t)$，它滿足Euler-Lagrange方程：
$$\frac{d}{dt}{?}_{\dot{\text{q}}}L={?}_{\text{q}}L$$

這是一個$s$維二階微分方程組，因此它的通解包含$2s$個積分常數，這些積分常數中，有一個常數作為時間的加項，可以通過選擇合適的零時刻消去，所以實際上有意義的積分常數有$2s?1$個，記為$C_1,C_2,?,C_{2s?1}$，Euler-Lagrange方程的通解可以表示為
$$\begin{gathered} \text{q}=\text{q}(t,C_1,C_2,?,C_{2s?1}) \\ \dot{\text{q}}=\dot{\text{q}}(t,C_1,C_2,?,C_{2s?1}) \end{gathered}$$

基于這兩個等式，我們可以把$C_i,i=1,?,2s?1$表示為$\text{q},\dot{\text{q}}$的函數，這些函數被稱為運動方程的積分（或者運動積分），這些運動積分表示的量被稱為守恒量，守恒量滿足可加性。

假設空間是各向同性的，考慮系統轉動$\delta ?$，則位移的微元為
$$\delta \text{r}=\delta ?\times \text{r}$$

因為
$$\frac{d}{dt}=\frac{?}{?t}+V??$$

這里的$V$是坐標系的運動速度，所以當坐標系固定時，
$$\delta \text{v}=\delta ?\times \text{v}$$

根據最小作用量原理，
$$\int ({?}_{\text{r}}L?\delta \text{r}+{?}_{\text{v}}L?\delta \text{v})dV=0$$

封閉力學系統中，Lagrange函數對速度的梯度是動量，對位移的梯度是力
$${?}_{\text{v}}L=\text{P},{?}_{\text{r}}L=\dot{\text{P}}$$

所以
$$\begin{gathered} \int [\dot{\text{P}}?(\delta ?\times \text{r})+\text{P}?(\delta ?\times \text{v})]dV=0 \\ \delta ?\times \int (\text{r}\times \dot{\text{P}}+\text{v}\times \text{P})dV=0 \\ \delta ??\frac{d}{dt}\int \text{r}\times \text{P}dV=0 \end{gathered}$$

因為角位移微元$\delta ?$具有任意性，所以
$$\frac{d}{dt}\int \text{r}\times \text{P}dV=0$$

定義$\int \text{r}\times \text{P}dV=\text{M}$，稱其為系統的角動量，在系統的運動過程中，角動量是守恒的。在四維時空中，$s=4$，運動積分有7個，分別是能量、動量的三個分量、角動量的三個分量。

角動量的應用

例1 假設有一個繞質心逆時針轉動的實心球（剛體），它的質量為$M$，半徑為$R$，質心離地面高度為$h$，讓它自由下落，與底面接觸的瞬間，接觸點相對地面的速度為$u(t)$，質心相對地面的速度為$u_M(t)$（產生動摩擦，方向與相對速度方向相反，大小與重力成正比，比例常數為$\mu$），繞質心轉動的角速度為$w(t)$，我們嘗試確定以上速度的方程。

取實心球與地面恰好要接觸的瞬間的時刻為零時刻。先寫出質心的動量方程：
$$\frac{dM{u}_M(t)}{dt}=?\mu Mg$$

然后寫出質心的角動量方程（注意球的轉動慣量為$\frac{2}{5}M{R}^2$）：
$$\frac{d(\frac{2}{5}M{R}^2)w(t)}{dt}=?\mu MgR$$

關于接觸點速度：
$$u(t)=u_M(t)+w(t)R$$

聯立這三個方程可以確定轉速、接觸點速度降低的規律。

例2 考慮一個簡化的陀螺模型。用一根細桿頂著一個實心圓盤表示一個陀螺，質量為$M$半徑為$R$，轉動慣量近似為$\frac{1}{2}M{R}^2$，自轉角速度為$w$，進動角速度為$\Omega$，$\alpha =\angle (\Omega ,w)$，質心的位移為$\text{R}$，則角動量方程滿足
$$\frac{d(\frac{1}{2}M{R}^2|w|)}{dt}=Mg\sin \alpha |\text{R}|=|\frac{1}{2}M{R}^{2}w|\sin \alpha |\Omega |$$

從第二個等號可以看出，
$$|\Omega |=\frac{Mg|\text{R}|}{|\frac{1}{2}M{R}^{2}w|}$$

根據這個角動量的方程可以確定陀螺的運動。

總結

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