物理光学5 色散、吸收与散射
物理光學(xué)5 色散、吸收與散射
- Lorentz Classical Electron Gas Model
- Helmholtz方程與廣義歐姆定律
- 介質(zhì)對光的吸收與透明材料
- 金屬的光學(xué)性質(zhì)
光,特別是可見光,作為一種特殊的電磁波,它的傳播除了滿足電磁波傳播的規(guī)律外,還有一些特有的現(xiàn)象,這一講介紹光的色散(dispersion)、吸收(absorption)與散射(scattering),色散是初中物理就介紹過的現(xiàn)象,當(dāng)白光通過三棱鏡時可以分解出不同顏色的光,這是因為不同頻率的光在三棱鏡中的折射率不同;吸收指的是光通過介質(zhì)進(jìn)行傳播的時候,所攜帶的能量被介質(zhì)吸收從而導(dǎo)致光強(qiáng)衰減的現(xiàn)象;散射這種現(xiàn)象也比較好理解,雖然我們畫光路圖的時候把光畫成直線,但這并不代表只有在直線上才能觀察到光,這就是光的散射造成的。這三種現(xiàn)象本質(zhì)上都是光與介質(zhì)材料的交互作用,下面介紹分析這些交互作用的物理模型。
Lorentz Classical Electron Gas Model
Lorentz認(rèn)為原子(atom)可以看成是由位于中心的原子核(nucleus)與圍繞原子核的電子云(electron gas)組成的,當(dāng)光作用在原子上時,電子云受到電磁場的作用會發(fā)生變形(distorted);他覺得這個時候電子云的運(yùn)動就應(yīng)該像彈簧一樣,在光的作用下會偏離原子核,但隨著電磁場的波動被原子核拉回,在單一方向上,電子的運(yùn)動可以用振動方程給出:
mex¨=?kex?meγx˙+eE0e?iwtm_e \ddot{x} = -k_e x-m_e \gamma \dot{x}+eE_0e^{-iwt}me?x¨=?ke?x?me?γx˙+eE0?e?iwt
其中mem_eme?是電子的質(zhì)量,其中?kex-k_ex?ke?x類比彈簧的恢復(fù)力,在電子云中是電子做圓周運(yùn)動的向心力mewe2xm_ew_e^2xme?we2?x,wew_ewe?被稱為電子云的自有頻率;上式中第二個減項是damping,可以理解為與速度成正比的摩擦力;第三項被稱為light wave(xxx方向上的分量);這個振動方程的通解為
x=x0e?iwtx = x_0e^{-iwt}x=x0?e?iwt
代入到原方程中可以求出x0x_0x0?;在(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)三個方向上,我們都可以列出以上的振動方程并根據(jù)通解得到振動的位移表達(dá)式,記這個位移為r?\vec rr,
r?=eE?/mew02?w2?iwγ\vec r = \frac{e \vec E/m_e}{w_0^2-w^2-iw\gamma}r=w02??w2?iwγeE/me??
由此可以計算電子的dipole moment:
p?=er?\vec p = e \vec rp?=er
如果電子云中有NNN個電子,那么這團(tuán)電子云的polarization為
P?=Np?=Ner?=Ne2E?me(w02?w2?iγw)=χe?0E?\vec P = N\vec p = Ne \vec r = \frac{Ne^2 \vec E}{m_e(w_0^2-w^2-i\gamma w)}=\chi_e \epsilon_0 \vec EP=Np?=Ner=me?(w02??w2?iγw)Ne2E?=χe??0?E
其中E?\vec EE是光的電場強(qiáng)度,n=1+χen=\sqrt{1+\chi_e}n=1+χe??是折射率(一般而言是一個復(fù)數(shù))
n=nr+inin2=1+χe=1+Ne2me?0(w02?w2?iγw)n = n_r+in_i \\ n^2 = 1+\chi_e = 1+ \frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0(w_0^2-w^2-i\gamma w)}n=nr?+ini?n2=1+χe?=1+me??0?(w02??w2?iγw)Ne2?
由此可以求出折射率的實部與虛部,并確定折射率的表達(dá)式:
n=1+Ne2me?0(w02?w2?iγw)n = \sqrt{1+ \frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0(w_0^2-w^2-i\gamma w)}} n=1+me??0?(w02??w2?iγw)Ne2??
其中N,w0,γN,w_0,\gammaN,w0?,γ與介質(zhì)本身的性質(zhì)有關(guān),而折射率則是入射光的角頻率www的函數(shù),這就是散射發(fā)生的理論基礎(chǔ):介質(zhì)對不同頻率的入射光具有不同的折射率。
Helmholtz方程與廣義歐姆定律
現(xiàn)在我們寫出電磁波在介質(zhì)中傳播的麥克斯韋方程,同樣假設(shè)沒有source,那么
??E?=0??B?=0?×E?+1c?B??t=0?×B??μ?c?E??t=4πμcJ?\nabla \cdot \vec{E} = 0\\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \\ \nabla \times \vec{B}-\frac{\mu \epsilon}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J??E=0??B=0?×E+c1??t?B?=0?×B?cμ???t?E?=c4πμ?J
使用常規(guī)技巧,取后兩個方程的旋度化簡可得:
??2E?+μ?c2?2E??t2=???t4πμcJ???2B?+μ?c2?2B??t2=4πμc?×J?-\nabla^2 \vec E + \frac{\mu \epsilon}{c^2 }\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial t} \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J \\ -\nabla^2 \vec B + \frac{\mu \epsilon}{c^2 }\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}= \frac{4 \pi \mu}{c} \nabla \times \vec J ??2E+c2μ???t2?2E?=??t??c4πμ?J??2B+c2μ???t2?2B?=c4πμ??×J
這兩個方程是非齊次的四維時空中的波動方程,等式右邊的非齊次項用來model介電常數(shù)的頻率相關(guān)性,我們可以直接寫出它們特解的形式:
E?=E?weiwt,B?=B?weiwt\vec E = \vec E_w e^{iwt},\vec B = \vec B_w e^{iwt}E=Ew?eiwt,B=Bw?eiwt
假設(shè)J?=J?weiwt\vec J = \vec J_w e^{iwt}J=Jw?eiwt,代入原方程后可以得到Helmholtz方程:
[?2+k2(w)]E?w=?4πicμ?k(w)J?w[?2+k2(w)]B?w=?4πμc?×J?w[\nabla^2 + k^2(w)] \vec E_{w}=-\frac{4 \pi i}{c}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}k(w) \vec J_w \\ [\nabla^2 + k^2(w)] \vec B_{w} =- \frac{4 \pi \mu}{c} \nabla \times \vec J_w [?2+k2(w)]Ew?=?c4πi??μ??k(w)Jw?[?2+k2(w)]Bw?=?c4πμ??×Jw?
其中
k(w)=n(w)wc,n(w)=μ?k(w) = \frac{n(w)w}{c}, n(w)=\sqrt{\mu \epsilon}k(w)=cn(w)w?,n(w)=μ??
因為E?\vec EE與B?\vec BB在電磁場中的地位是對稱的,所以我們希望上面的兩個Helmholtz方程形式再接近一點,為此引入generalized Ohm‘s law:
J?w=ΓE?w,Γ=ΓRe+iΓIm\vec J_w = \Gamma \vec E_w, \Gamma = \Gamma_{Re}+i \Gamma_{Im}Jw?=ΓEw?,Γ=ΓRe?+iΓIm?
將Helmholtz方程合并為
[?2+k2(w)+i4πn(w)Γc?][E?wB?w]=0[\nabla^2+k^2(w)+i\frac{4 \pi n(w) \Gamma}{c \epsilon}] \left[ \begin{matrix} \vec E_w \\ \vec B_w \end{matrix} \right]=0[?2+k2(w)+ic?4πn(w)Γ?][Ew?Bw??]=0
這就與我們上一章用過的Helmholtz方程不一樣了,所以我們重新定義一下wave number:
[k′(w)]2=[k(w)]2+i4πn(w)Γc?[ k'(w)]^2=[k(w)]^2+i\frac{4 \pi n(w) \Gamma}{c \epsilon}[k′(w)]2=[k(w)]2+ic?4πn(w)Γ?
于是
E?w=E?0eik′(w)?r?=E?0eikr′(w)?r??propagation?e?ki′(w)?r??attenuation\vec E_w = \vec E_0 e^{ik'(w) \cdot \vec r} \\ = \vec E_0 \underbrace{e^{ik'_r(w)\cdot \vec r}}_{propagation} \cdot \underbrace{e^{-k'_i(w) \cdot \vec r}}_{attenuation}Ew?=E0?eik′(w)?r=E0?propagationeikr′?(w)?r???attenuatione?ki′?(w)?r??
考慮幾種特例:Γ=?iNwe2me(w02?w2?iwγ)\Gamma = \frac{-iNwe^2}{m_e(w_0^2-w^2-iw\gamma)}Γ=me?(w02??w2?iwγ)?iNwe2?
介質(zhì)對光的吸收與透明材料
根據(jù)上面的推導(dǎo),折射率的虛部影響介質(zhì)對光的吸收。下面考慮一種特例:∣χe∣<<1|\chi_e|<<1∣χe?∣<<1
n=1+χe≈1+12χenr=1+12Ne2me?0w02?w2(w02?w2)2+(γw)2ni=12Ne2me?0γw(w02?w2)2+(γw)2n = \sqrt{1+\chi_e} \approx 1+ \frac{1}{2}\chi_e \\ n_r = 1+\frac{1}{2}\frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0} \frac{w_0^2-w^2}{(w_0^2-w^2)^2+(\gamma w)^2} \\ n_i = \frac{1}{2}\frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0} \frac{\gamma w}{(w_0^2-w^2)^2+(\gamma w)^2} n=1+χe??≈1+21?χe?nr?=1+21?me??0?Ne2?(w02??w2)2+(γw)2w02??w2?ni?=21?me??0?Ne2?(w02??w2)2+(γw)2γw?
上圖是透明材料折射率實部與虛部與入射光角頻率的關(guān)系。結(jié)合等式與上圖可以得到下面的結(jié)論:
金屬的光學(xué)性質(zhì)
前面第二節(jié)介紹了金屬作為電磁波的介質(zhì)的特點,這里我們再簡單分析一下金屬的光學(xué)性質(zhì)。同樣引入廣義歐姆定律,
J?=σE?\vec J = \sigma \vec EJ=σE
則麥克斯韋方程中電場的旋度應(yīng)該修正為
?×E?=??E??t+σE?\nabla \times \vec E=\epsilon \frac{\partial \vec E}{\partial t}+\sigma \vec E?×E=??t?E?+σE
它滿足的波動方程為
?2E?=μ0??2E??t2+μ0σ?E??t\nabla^2 \vec E = \mu_0 \epsilon \frac{\partial ^2 \vec E}{\partial t^2}+\mu_0 \sigma \frac{\partial \vec E}{\partial t}?2E=μ0???t2?2E?+μ0?σ?t?E?
同樣帶入通解E?=E?0ei(kz?wt)\vec E = \vec E_0e^{i(kz-wt)}E=E0?ei(kz?wt)(在zzz方向的通解形式),可以確定解的具體形式。省略推導(dǎo)(得到E?\vec EE的表達(dá)式,然后計算確定光強(qiáng)的表達(dá)式,得到吸收系數(shù))過程,定義penetration depth (或者叫skin depth,是光能透過金屬的深度)為
Zd=1α=c2wni=λ2πniZ_d = \frac{1}{\alpha} = \frac{c}{2wn_i}=\frac{\lambda}{2 \pi n_i}Zd?=α1?=2wni?c?=2πni?λ?
其中nin_ini?有金屬本身的性質(zhì)決定,比如
| Al | 6. 8 |
| Ag | 3.4 |
對于金屬(或者導(dǎo)體)而言,材料中的電子由原子內(nèi)的固定電子+游離的自由電子構(gòu)成,數(shù)量上后者占優(yōu),并且根據(jù)Gauss定理,自由電子傾向于分布在導(dǎo)體表面,因此當(dāng)光照到導(dǎo)體上時,就會在金屬的表面與自由電子交互作用,而很難滲入到導(dǎo)體內(nèi)部。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的物理光学5 色散、吸收与散射的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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