物理光學8 多波束干涉

多波束干涉(multi-beam interference)的原理可以用下圖解釋。假設一塊折射率為$n_2$的材料放在折射率為$n_1$的介質中，用電場為$E_0$的光垂直入射，在界面處發生折射（或者說透過、也可以說滲透）和反射，反射光電場為$r{E}_0$，折射光電場為$t{E}_0$；假設折射光傳播到材料另一邊時相位增加了$\delta /2$，則
$$\frac{\delta }{2}=kd$$

其中$k$是入射光的波數，$d$是材料的厚度；此時在這個界面上也會發生反射和折射，反射光電場為$r^{\prime }t{E}_0{e}^{i\frac{\delta }{2}}$，折射光電場為$t^{\prime }t{E}_0{e}^{i\frac{\delta }{2}}$；這一束反射光回到第一個界面時又會發生折射和反射，也就是說會有一束光一直在材料中傳播并在材料兩端不停地反射和折射直到它的光強趨于0；

在材料的左邊的表面，所有的反射光疊加在一起的結果是
$$E_r=r{E}_0+t{t}^{\prime }{r}^{\prime }{E}_0{e}^{i\delta }[1+(r^{\prime }{)}^2{e}^{i\delta }+((r^{\prime }{)}^2{e}^{i\delta }{)}^2+?]$$

根據Stokes parameter的關系：
$$\begin{gathered} r^{\prime }=?r \\ t{t}^{\prime }=1?r^2 \end{gathered}$$

反射系數與透過系數的值用Fresnel方程計算；它們之間的關系用下圖（從維基百科偷來的）說明，本質其實就是能量守恒。

代入到上式中，
$$E_r=r{E}_0\frac{1?e^{i\delta }}{1?r^2{e}^{i\delta }}$$

這就是多波束干涉的結果。據此可以計算光強：
$$I_r=E_r{E}_r^{?}=I_{in}\frac{F{\sin }^2(\delta /2)}{1+F{\sin }^2(\delta /2)}$$

其中$I_{in}$是入射光的強度，$I_{in}=E_0{E}_0^{?}$，
$$F=\frac{4r^2}{(1?r^2{)}^2}$$

由此可以計算總反射系數為
$$R=\frac{I_r}{I_{in}}=\frac{F{\sin }^2(\delta /2)}{1+F{\sin }^2(\delta /2)}$$

那么總透過系數就是
$$T=1?R=\frac{1}{1+F{\sin }^2(\delta /2)}$$

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有趣的現象
如果${\sin }^2(\delta /2)=0$，也就是
$$\delta /2=kd=m\pi ,m\in \mathbb{N}$$

也就是只要材料厚度滿足
$$d=\frac{m\pi }{k}$$

也可以用波長替換波數
$$k=\frac{2\pi }{\lambda },d=\frac{m}{2}\lambda$$

那么$T=1,R=0$，即光垂直通過這塊材料可以全部透射。乍一看這個結論好像也沒什么，但以普遍理性而論，如果可以把材料厚度變成所有可見光波長的“公倍數”，那么這塊材料對所有的可見光都是“透明的”，這就實現了在可見光下的“隱形”效果。

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透射光的頻譜

現在來分析透射光的頻譜，也就是$T$關于$\delta$的函數：
$$T=\frac{1}{1+F{\sin }^2(\delta /2)}$$

如果$F$非常小，那么$T$總是接近1的，也就是材料幾乎總是可以全透射的；如果$F$比較大，那么當$\delta =2m\pi$時，材料會全透射，這時的光譜叫transmission spectra，但在其他時候，材料的透射對角頻率$\delta$的變化非常敏感（在特定頻率發生透射，其他頻率幾乎無透射），這時的光譜叫free spectra range （FSR）。通常認為$T=1/2$是作為透射與否的閾值，那么在FSR中，可以發生透射的頻段為
$$\begin{gathered} T=\frac{1}{2} \\ {\delta }_{1/2}=2\arcsin (1/\sqrt{F})\approx \frac{2}{\sqrt{F}} \end{gathered}$$

稱$2{\delta }_{1/2}$為full-width at half-maximum，記為
$$FWHM=2{\delta }_{1/2}=\frac{4}{\sqrt{F}}$$

多波束干涉的應用非常廣泛，根據$T$與$\delta$的關系，我們可以用多波束干涉的原理制作光譜儀；也可以用多波束干涉在LASER中篩選特定波長的電磁波。

總結

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