量子力學(xué) 一 基礎(chǔ)8 經(jīng)典概率與量子概率

• • 經(jīng)典概率
  • 量子概率
  • • 不存在干涉時(shí)，量子概率可以用經(jīng)典概率解釋
    • 存在干涉時(shí)，量子概率無法用經(jīng)典概率解釋

經(jīng)典概率

相信大家對經(jīng)典概率論是非常熟悉的，按Kolmogorov的公理化定義，首先引入可測空間$(\Omega ,\mathcal{F})$，$\Omega$是非空集合，表示狀態(tài)空間；$\mathcal{F}$是事件空間，也是狀態(tài)空間的一個(gè)$\sigma$-代數(shù)；引入$P$，一個(gè)自變量為集合的函數(shù)，它把集合映射成一個(gè)數(shù)值。對于可測空間$(\Omega ,\mathcal{F})$，如果$P:\mathcal{F}\to {\mathbb{R}}^{+}$是一個(gè)測度，即

$P(?)=0$

$?A\in \mathcal{F},P(A)\ge 0$

$?A_i\in \mathcal{F},i=1,?,n$, $P({?}_{i=1}^n{A}_i)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$

且如果$P(\Omega )=1$，滿足$\sigma$-可加性，就稱$P$為概率測度，或簡稱概率；稱$(\Omega ,\mathcal{F},P)$為概率空間或者一個(gè)概率模型。

狀態(tài)空間也就是試驗(yàn)中所有可能結(jié)果的集合，以toss a coin的試驗(yàn)為例，狀態(tài)空間為$\Omega =\{H,T\}$，$H$表示數(shù)字朝上；toss n coins的狀態(tài)空間可以表示為${\Omega }^n$。

$\mathcal{F}$表示toss coins的所有可能的事件（$\Omega$的所有子集，也就是在一個(gè)事件中，有限種結(jié)果同時(shí)發(fā)生、另一些結(jié)果不發(fā)生），比如對于toss a coin，$\mathcal{F}=\{?,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$，分別表示既不是正面也不是反面、正面、反面、既是正面也是反面這四個(gè)事件，顯然第一個(gè)和第四個(gè)事件概率為0。$\mathcal{F}$中的事件的概率測度可以基于$P(H)=P(T)=1/2$進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)例子說明概率公理化定義的實(shí)踐就是把概率空間的三個(gè)要素準(zhǔn)確定義出來，而概率空間中的不確定性則是來源于概率測度$P$，而$P$是由試驗(yàn)本身的性質(zhì)決定的，只有天知道它的表達(dá)式是什么，但當(dāng)我們獨(dú)立重復(fù)足夠多次試驗(yàn)后可以用統(tǒng)計(jì)方法對$P$進(jìn)行推斷。

量子概率

量子概率不是很容易用公理化的形式解釋，我們從一個(gè)例子開始。考慮一個(gè)線性偏振光源，它發(fā)出在豎直方向偏振的光，記偏振狀態(tài)為$|v?$，在線性偏振光傳播方向上放一塊偏振片，它與豎直方向呈$\theta$的角度，記它的位置狀態(tài)為$|\theta ?$。

不存在干涉時(shí)，量子概率可以用經(jīng)典概率解釋

如果只發(fā)出一個(gè)光子，我們只能觀察到它能通過/不能通過偏振片這兩種可能的結(jié)果，其中它能通過偏振片的概率為${\cos }^2\theta$，被偏振片吸收的概率為${\sin }^2\theta$；將偏振片旋轉(zhuǎn)一下，變?yōu)?span id="vt6mr5x" class="katex--inline">$|\theta +\frac{\pi }{2}?$（也就是與之前的位置狀態(tài)垂直，這兩種位置狀態(tài)不會產(chǎn)生干涉），則此時(shí)光子能通過偏振片的概率為${\cos }^2(\theta +\frac{\pi }{2})={\sin }^2\theta$。

按平行四邊形法則分解$|v?$，可以得到
$$|v?=(\cos \theta )|\theta ?+(\sin \theta )|\theta +\frac{\pi }{2}?$$

關(guān)于這個(gè)式子的解讀如下：

$|v?$表示光源的偏振態(tài)，$|\theta ?$與$|\theta +\frac{\pi }{2}?$表示在上述偏振系統(tǒng)（也就是測量）中可以被觀察者觀察到的兩種偏振態(tài)，因此光源的偏振態(tài)實(shí)際上是這兩種可以被觀察到的偏振態(tài)的疊加，并且可以被觀察到的偏振態(tài)會受到測量的影響；

分解的系數(shù)$\cos (\theta )$與$\sin (\theta )$表示這兩種可以被觀察到的偏振態(tài)的probability amplitude，它們不是概率，它們的平方才表示每個(gè)偏振態(tài)被觀察到的概率；

在光源發(fā)出的一個(gè)光子被測量前，它的偏振態(tài)就是$|\theta ?$與$|\theta +\frac{\pi }{2}?$的疊加，但它被測量后，它的偏振態(tài)要么是$|\theta ?$，要么是$|\theta +\frac{\pi }{2}?$，在量子力學(xué)中，這被稱為態(tài)的坍縮(collapse)

與經(jīng)典概率拋硬幣的試驗(yàn)不一樣的是，每次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，被拋的硬幣可以是同一個(gè)（雖然觀察記錄下硬幣正反面的時(shí)候也發(fā)生了態(tài)的坍縮，但當(dāng)我們重新準(zhǔn)備拋到拋完進(jìn)行觀察之前，硬幣的態(tài)又恢復(fù)成了疊加的形式），而光子的偏振態(tài)在坍縮后是不能復(fù)原的，所以即使發(fā)出多個(gè)光子進(jìn)行重復(fù)觀察，每一次的光子也都是不一樣的

計(jì)算$|v?$與自身的內(nèi)積（注意$?\theta |\theta +\frac{\pi }{2}?=0$）
$$\begin{gathered} 1=?v|v?=({\cos }^2\theta )?\theta |\theta ?+({\sin }^2\theta )?\theta +\frac{\pi }{2}|\theta +\frac{\pi }{2}? \\ ={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \end{gathered}$$

可以驗(yàn)證在這種情況下，光子被觀察到的概率模型完全符合Kolmogorov公理（歸一性，非負(fù)性，可加性）。

存在干涉時(shí)，量子概率無法用經(jīng)典概率解釋

如果只發(fā)出一個(gè)光子，我們只能觀察到它能通過/不能通過偏振片這兩種可能的結(jié)果，其中它能通過偏振片的概率為${\cos }^2\theta$，被偏振片吸收的概率為${\sin }^2\theta$；將偏振片旋轉(zhuǎn)一下，變?yōu)?span id="vt6mr5x" class="katex--inline">$|\alpha ?$（$0<|\alpha ?\theta |<\pi /2$，也就是它與之前的位置狀態(tài)$\theta$內(nèi)積不為0，二者會互相干涉）。

因?yàn)?span id="vt6mr5x" class="katex--inline">$|\theta ?$與$|\alpha ?$線性無關(guān)，所以我們還是可以把光源的偏振態(tài)分解，即存在常數(shù)$a,b$使得
$$|v?=a|\theta ?+b|\alpha ?$$

計(jì)算$|v?$與自身的內(nèi)積：
$$\begin{gathered} 1=?v|v? \\ =a^2?\theta |\theta ?+a^{?}b?\theta |\alpha ?+b^{?}a?\alpha |\theta ?+b^2?\alpha |\alpha ? \\ =a^2+b^2+\underset{Interference}{a^{?}b?\theta |\alpha ?+b^{?}a?\alpha |\theta ?} \end{gathered}$$

這時(shí)就會多出干涉項(xiàng)，導(dǎo)致量子概率與經(jīng)典概率不同。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的量子力学 一 基础8 经典概率与量子概率的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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