UA OPTI570 量子力學(xué)3 單個(gè)自由粒子的薛定諤方程

• • 自由粒子的薛定諤方程
  • 波包
  • Heisenberg Uncertainty Relation
  • 相速度與群速度

自由粒子的薛定諤方程

經(jīng)過上一講的敘述，想必大家已經(jīng)接受了波函數(shù)的概念，波函數(shù)于量子力學(xué)就相當(dāng)于速度、位移于經(jīng)典力學(xué)，所以如何求出粒子的波函數(shù)是一個(gè)很重要的話題。上一講提到波函數(shù)的形式由Schroedinger方程給出：$$i?\frac{?}{?t}\psi (\text{r},t)=?\frac{{?}^2}{2m}\Delta \psi (\text{r},t)+V(\text{r},t)\psi (\text{r},t)$$其中$\Delta$是Laplace算子，$\Delta =???$，$m$代表粒子的質(zhì)量，$V(\text{r},t)$代表它的potential。薛定諤方程乍一看還是有點(diǎn)復(fù)雜的，所以我們先從最簡(jiǎn)單的情況著手，討論薛定諤方程與波函數(shù)的形式。

考慮一個(gè)沒有勢(shì)能的自由粒子，也就是$?\text{r},t$, $V(\text{r},t)=0$，此時(shí)薛定諤方程為
$$i?\frac{?}{?t}\psi (\text{r},t)=?\frac{{?}^2}{2m}\Delta \psi (\text{r},t)$$

這就是我們?cè)陔姶爬碚撝薪?jīng)常處理的波動(dòng)方程，它的解具有下面這種形式：
$$\psi (\text{r},t)=A{e}^{i(\text{k}?\text{r}?wt)}$$

其中$A$是常數(shù)，$\text{k}$是波向量，$w$是波的角頻率，它們滿足
$$w=\frac{?|\text{k}{|}^2}{2m}$$

代入動(dòng)量與波向量的de Broglie Relation
$$\text{p}=?\text{k}$$

可以得到動(dòng)量與角頻率之間滿足
$$w=\frac{|\text{p}{|}^2}{2m?}$$

代入能量與角頻率的de Broglie Relation
$$E=?w=\frac{|\text{p}{|}^2}{2m}$$

這說明即使是在量子力學(xué)（在這個(gè)最簡(jiǎn)單的例子）中，動(dòng)量與能量之間的經(jīng)典關(guān)系依然成立。根據(jù)波函數(shù)的表達(dá)式可以得到粒子的概率分布表達(dá)式：
$$d\mathcal{P}(\text{r},t)\propto |\psi (\text{r},t){|}^2=|A{|}^2$$

也就是說粒子的probability of presence是均勻的。

波包

物質(zhì)波也滿足疊加原理，用波向量區(qū)分不同物質(zhì)波，它們疊加后的結(jié)果可以表示為
$$\psi (\text{r},t)=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}\int g(\text{k})e^{i(\text{k}?\text{r}?w(\text{k})t)}{d}^3\text{k}$$

假設(shè)$g(\text{k})$在波向量空間內(nèi)可微，稱這個(gè)波函數(shù)是一個(gè)三維波包（wave packet）,上述自由粒子的薛定諤方程的任意$L^2$空間中的解都可以寫成這個(gè)形式。為了簡(jiǎn)化問題，下面我們研究“一維”波包：
$$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{?\infty }^{+\infty }g(k)e^{i(kx?w(k)t)}dk$$

假設(shè)粒子的初始波函數(shù)為$\psi (x,0)$，根據(jù)定義知
$$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{?\infty }^{+\infty }g(k)e^{ikx}dk$$

這說明$g(k)$是$\psi (x,0)$的Fourier變換：
$$g(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int \psi (x,0)e^{?ikx}dx$$

因此一維波包表達(dá)式中的$g(k)$實(shí)際上反映了波包的初始形狀。

假設(shè)$|g(k)|$的形狀如上圖所示，是一個(gè)單峰函數(shù)，峰值在$k_0$處取得，帶寬（取最大值的一半對(duì)應(yīng)的兩個(gè)橫坐標(biāo)之差）為$\Delta k$，我們?nèi)?span id="vt6mr5x" class="katex--inline">$k_0,k_0\pm \frac{\Delta k}{2}$作為三個(gè)特殊位置代表這個(gè)單峰函數(shù)的特征，假設(shè)需要做疊加的波向量就是這三個(gè)，那么
$$\begin{gathered} \psi (x,0)=\frac{g(k_0)}{\sqrt{2\pi }}\left[e^{i{k}_{0}x}+\frac{1}{2}{e}^{i(k_0?\frac{\Delta k}{2})x}+\frac{1}{2}{e}^{i(k_0+\frac{\Delta k}{2})x}\right] \\ =\frac{g(k_0)}{\sqrt{2\pi }}{e}^{i{k}_{0}x}\left[1+\cos (\frac{\Delta k}{2}x)\right] \end{gathered}$$

上圖前三個(gè)圖像分別代表三種波向量對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波波形，第四個(gè)圖像代表這三種物質(zhì)波疊加后的干涉波形，其中
$$\Delta x=\frac{4\pi }{\Delta k}$$

$\Delta x$越大，波包就越容易觀測(cè)到，這就需要$\Delta k$盡量小一點(diǎn)。

Heisenberg Uncertainty Relation

上面的關(guān)系式具有很重要的物理意義，但是因?yàn)椴ㄏ蛄坎皇呛芎弥庇^理解，所以我們使用波向量與動(dòng)量的de Broglie Relation轉(zhuǎn)換一下：
$$p=?k?\Delta k=\frac{\Delta p}{?}$$

于是
$$\Delta x?\Delta p=4\pi ?$$

這個(gè)式子說明想要精確測(cè)量物質(zhì)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不可能的，如果想要精確測(cè)量位置（$\Delta x$盡可能小），那么就無法精確測(cè)量動(dòng)量了；而如果想精確測(cè)量動(dòng)量（$\Delta p$盡可能小），那么位置就無法精確測(cè)量了，這個(gè)現(xiàn)象被總結(jié)為海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理，$\Delta x?\Delta p$大約等于和$?$同尺度的常數(shù)這個(gè)關(guān)系被稱為Heisenberg Uncertainty Relation。實(shí)際上關(guān)于這個(gè)原理在Cohen-Tannoudji的量子力學(xué)25-28頁有更詳細(xì)的說明，但我覺得只用這個(gè)簡(jiǎn)單例子就能把概念說清楚了，所以那幾頁沒有總結(jié)進(jìn)來，需要的同學(xué)可以閱讀原文。

最后還需要說明一下$\Delta p$的物理意義，畢竟$\Delta x$表示波包兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離，$\Delta k$是$|g(k)|$的帶寬，它們都是有物理意義的。這就需要回到波函數(shù)本身，我們?cè)诙x波函數(shù)的時(shí)候給定的自變量是時(shí)空$(\text{r},t)$，但實(shí)際上波函數(shù)也可以在Momentum space中定義，即$\bar{\psi }(\text{p},t)$，以一維波函數(shù)初始條件$\psi (x,0)$為例，它與$\bar{\psi }(p)$之間滿足：
$$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ?}}\int \bar{\psi }(p)e^{ipx/?}dp$$

也就是說$\bar{\psi }(p)$是$\psi (x,0)$的Fourier變換。而前文也提到$g(k)$也是$\psi (x,0)$的Fourier變換，它們的區(qū)別僅僅在于$\bar{\psi }(p)$的變換核為$e^{?ipx/?}$而$g(k)$的變換核為$e^{?ikx}$，這兩個(gè)變換核的差異正好是由de Broglie關(guān)系決定的。因此$\Delta p$與$\Delta k$的含義完全類似，它表示動(dòng)量空間中初始波函數(shù)的帶寬，也即是$\bar{\psi }(p)$的帶寬。

相速度與群速度

最后我們?cè)儆懻撘幌聠瘟械囊痪S波函數(shù)
$$\psi (x,t)=A{e}^{i(kx?wt)}$$

它沿$x$軸轉(zhuǎn)播的速度為
$$V_{?}(k)=\frac{w}{k}$$

把這個(gè)速度代入一維波函數(shù)中
$$\psi (x,t)=A{e}^{ik(x?V_{?}(k)t)}$$

可以看出它總是以$x?V_{?}(k)t$的形式影響波函數(shù)的相位，因此這個(gè)速度通常被成為相速度（phase velocity）。在真空中，上述定義沒有什么問題，畢竟不存在影響物質(zhì)波傳播的因素，但是在介質(zhì)中，我們需要代入角頻率與波數(shù)的關(guān)系修正一下相速度的式子：
$$V_{?}(k)=\frac{\frac{?|\text{k}{|}^2}{2m}}{k}=\frac{?k}{2m}$$

也就是說在介質(zhì)中傳播時(shí)，因?yàn)椴煌镔|(zhì)波的相速度不同，疊加形成的波包在傳播中形狀會(huì)發(fā)生變換。

我們可以分析波包的最大值點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單說明一下這個(gè)現(xiàn)象。沿用上面討論波包時(shí)的例子，但是這一次需要讓$w$也隨$k$變化（單峰，峰值在$w_0$處），并定義$\Delta w$作為$w(k)$的帶寬，選擇三個(gè)特征點(diǎn)$(k_0,w_0),(k_0?\frac{\Delta k}{2},w_0?\frac{\Delta w}{2}),(k_0+\frac{\Delta k}{2},w_0+\frac{\Delta w}{2})$：
$$\begin{gathered} \psi (x,t)=\frac{g(k_0)}{\sqrt{2\pi }}\left[e^{i(k_{0}x?w_{0}t)}+\frac{1}{2}{e}^{i[(k_0?\frac{\Delta k}{2})x?(w_0?\frac{\Delta w}{2})t]}+\frac{1}{2}{e}^{i[(k_0+\frac{\Delta k}{2})x?(w_0+\frac{\Delta w}{2})t]}\right] \\ =\frac{g(k_0)}{\sqrt{2\pi }}{e}^{i(k_{0}x?w_{0}t)}\left[1+\cos (\frac{\Delta k}{2}x?\frac{\Delta w}{2}t)\right] \end{gathered}$$
由此可見最大值點(diǎn)的位置滿足
$$x(t)M=\frac{\Delta w}{\Delta k}t$$

它的速度為$\frac{\Delta w}{\Delta k}$（在連續(xù)的情況下可以寫成$\frac{dw}{dk}{|}_{k=k_0}$），而不是之前定義的相速度，稱這個(gè)速度為群速度（group velocity），因?yàn)樗w現(xiàn)的是以波包的最大值為基準(zhǔn)的波包整體的運(yùn)動(dòng)速度。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学3 单个自由粒子的薛定谔方程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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