一，非線性一階微分自治方程組的一般形式：
$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=f(x,y)\\ y^{\prime }=g(x,y)\end{array}$
等式右邊不顯含變量t
等式右邊是非線性函數（如三角函數、二次項）

二，例題（含阻尼的非線性擺）：

如圖，一根木桿繞定點o來回擺動，下端有個質量為m的擺球，木桿長度為l，軌道是圓形。θ角是木桿和垂直方向的夾角。規定逆時針擺動為正方向，θ角為正，順時針為負方向，θ角為負。
分析：
模型滿足方程$ma=F$
因為：$a={\theta }^{\prime \prime }l$，$F=?mgsin(\theta )$，F的方向為負方向
所以：$m{\theta }^{\prime \prime }l=?mgsin(\theta )$
再減去阻尼線速度：$m{\theta }^{\prime \prime }l=?mgsin(\theta )?c_{1}l{\theta }^{\prime }$，$c_1$為常數
整理為微分方程：${\theta }^{\prime \prime }+\frac{c_1}{m}{\theta }^{\prime }+\frac{g}{l}sin(\theta )=0$
常數集總：令$\frac{c_1}{m}=c$稱為阻尼常數，令$\frac{g}{l}=k$
化簡微分方程：${\theta }^{\prime \prime }+c{\theta }^{\prime }+ksin(\theta )=0$
轉化為方程組：
$\{\begin{array}{c}{\theta }^{\prime }=\omega \\ {\omega }^{\prime }=?ksin(\theta )?c\omega \end{array}$
令c=1，k=2，得欠阻尼狀態：
$\{\begin{array}{c}{\theta }^{\prime }=\omega \\ {\omega }^{\prime }=?2sin(\theta )?\omega \end{array}$
第一步，找到臨界點（本身構成解的點）：
設臨界點為$(x_0,y_0)$，意味著$\{\begin{array}{c}{x_0}^{\prime }=f(x_0,y_0)=0\\ {y_0}^{\prime }=g(x_0,y_0)=0\end{array}$
本例中$\{\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }={\omega }_0=0\\ {{\omega }_0}^{\prime }=?2sin({\theta }_0)?{\omega }_0=0\end{array}$，在該點角速度和角加速度都為0，處于靜止狀態
解方程組，得：$sin({\theta }_0)=0$，$\{\begin{array}{c}{\theta }_0=n\pi \\ {\omega }_0=0\end{array}$，n是整數
從物理的角度看，臨界點在圓形軌跡的最低點$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$和最高點$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\pi \\ 0\end{array}\right]$，最低點的臨界點是穩定的（擺球從該點附近出發，時間趨于無窮時，擺球會接近該點），最高點的臨界點是不穩定的（擺球從該點附近出發，時間趨于無窮時，擺球會遠離該點）。
第二步，對每個臨界點附近，線性化方程組，并畫出軌跡：
當在最低點$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$時：
線性化：當${\theta }_0$是無窮小時，$sin({\theta }_0)\to {\theta }_0$
方程組變為：$\{\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }={\omega }_0\\ {{\omega }_0}^{\prime }=?2{\theta }_0?{\omega }_0\end{array}$

矩陣化：$\left[\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }\\ {{\omega }_0}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2& ?1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]$
求特征值：
二階矩陣公式${\lambda }^2+\lambda +2=0$，得：$\lambda =\frac{?1\pm \sqrt{?7}}{2}$
$\lambda$是復數，說明圖像是螺旋。因為實部$?\frac{1}{2}$是負數，所以大小會按照$e^{?\frac{1}{2}t}$縮小。因此螺旋是匯聚，不是源。
求螺旋方向：
將點$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$代入方程組，得該點速度向量$\left[\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }\\ {{\omega }_0}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ ?2\end{array}\right]$，豎直向下
作圖：

物理含義：擺球從最低點附近開始，向最低點靠近，來回擺動，由于受到阻尼影響，擺幅越來越小，最后靜止。

當在最高點$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\pi \\ 0\end{array}\right]$時：
線性化：
臨界點$(x_0,y_0)$處的雅克比矩陣：$J_0={\left[\begin{array}{cc}{f}_x& f_y\\ g_x& g_y\end{array}\right]}_0$

本例中，臨界點的方程組：$\{\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }={\omega }_0\\ {{\omega }_0}^{\prime }=?2sin({\theta }_0)?{\omega }_0\end{array}$
雅克比矩陣：$J_0={\left[\begin{array}{cc}{f}_{\theta }& f_{\omega }\\ g_{\theta }& g_{\omega }\end{array}\right]}_0=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2cos(\theta )& ?1\end{array}\right]$
這個雅克比矩陣就是線性化方程中的矩陣A：比如，當在最低點$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$時，$J_0=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2cos(\theta )& ?1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2& ?1\end{array}\right]$

當在最高點$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\pi \\ 0\end{array}\right]$時：$J_0=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?2cos(\theta )& ?1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& ?1\end{array}\right]$

矩陣化：$\left[\begin{array}{c}{{\theta }_0}^{\prime }\\ {{\omega }_0}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& ?1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]$
求特征值：
二階矩陣公式${\lambda }^2+\lambda ?2=0$，得：${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=?2$
求特征向量：
將${\lambda }_1=1$代入$\left[\begin{array}{cc}0?\lambda & 1\\ 2& ?1?\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right]=0$得：${\alpha }_1=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$，解為$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^t$

將${\lambda }_1=?2$代入$\left[\begin{array}{cc}0?\lambda & 1\\ 2& ?1?\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right]=0$得：${\alpha }_2=c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?2\end{array}\right]$，解為$c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?2\end{array}\right]e^{?2t}$

通解：$\left[\begin{array}{c}{\theta }_0\\ {\omega }_0\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^t+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ ?2\end{array}\right]e^{?2t}$

作圖（按照第二十七講的方法）：

物理含義：擺球從最高點附近開始，由慢變快地向最低點下落。
第三步，將兩個臨界點的圖結合成大圖：
畫出每個臨界點的軌跡，并補充些軌跡。

物理含義：擺球從最高點附近開始，由慢變快地向最低點下落，如果力很大，就要轉好幾圈，然后在最低點附近來回擺動，由于受到阻尼影響，擺幅越來越小，最后靜止。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第三十一讲 非线性微分自治方程组及图解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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