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模糊数学笔记：一、模糊集及其运算性质

發布時間：2025/4/16 编程问答 16 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了模糊数学笔记：一、模糊集及其运算性质小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

1965年，美國加利福尼亞大學控制論專家扎德(L. A. Zadeh)教授在《信息與控制》雜志上發表了一篇開創性論文《模糊集合》,這標志著模糊數學的誕生.扎德是世界公認的系統埋論及其應用領域最有貢獻的人之一，被譽為“糊集之父“,

在人類社會和各個科學領域中,人們所遇到的各種量大體上可以分成兩大類：確定性的與不確定性的,而不確定性又可分為隨機性和模糊性.人們正是用三種數學來分別研究客觀世界中不同的量,即：

第一類是確定性數學模型.這類模型研究的對象具有確定性,對象之間具有必然的關系,最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的數學模型.
第二類是隨機性數學模型.這類模型研兗的對象具有隨機性,對象之間具有偶然的關系，如用概率分布方法、馬爾可夫(Markov)鏈所建立的數學模型.
第三類是模糊性數學模型.這類模型所研究的對象與對象之間的關系具有模糊性.

1、從特征函數定義模糊集

經典集合的特征函數：
$χA:U→{0,1}x?χA(x)={1,x∈A0,x?A\begin{aligned} \chi_{A}: & U \rightarrow\{0,1\} \\ x & \mapsto \chi_{A}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{array}\right. \end{aligned}$
模糊集合的特征函數
$μA:U→[0,1]x?μA(x)∈[0,1]\begin{aligned} \mu_{A}: & U \rightarrow[0,1] \\ & x \vdash \mu_{A}(x) \in[0,1] \end{aligned}$

例: 設論域U= [0,200](單位:歲)表示人的年齡,“年輕”(Y)與“年老”(Q)兩個模糊集,其隸屬函數(圖1.5)分別為

$Y(x)={1,[1+(x?255)2]?1,0,0?x?2525<x?200Q(x)={[1+(x?505)?2]?1,50<x?200\begin{array}{l} \qquad \begin{aligned} Y(x)=\left\{\begin{array}{c} 1, \\ {\left[1+\left(\frac{x-25}{5}\right)^{2}\right]^{-1},} \\ 0, \end{array}\right.& \begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 25 \\ 25<x \leqslant 200 \end{array} \\ Q(x)=\left\{\left[1+\left(\frac{x-50}{5}\right)^{-2}\right]^{-1},\right.& 50<x \leqslant 200 \end{aligned} \end{array}$

2、模糊集合的表示方法

扎德表示法：

$A=A(x1)x1+A(x2)x2+?+A(xn)xnA=\frac{A\left(x_{1}\right)}{x_{1}}+\frac{A\left(x_{2}\right)}{x_{2}}+\cdots+\frac{A\left(x_{n}\right)}{x_{n}}$

這里“ $A(x_i)/x_i$ ”不是分數，“十”也不表示求和，只有符母意義，它表示點 $x_{i}$ 對模糊集 $A$ 的隸屬度是 $\left(x_{i}\right) .$

序偶表示法：

$A={(x1,A2),(x2,A(x2)),?,(xn,A(xn)}A=\left\{\left(x_{1}, A_{2}\right),\left(x_{2}, A\left(x_{2}\right)\right), \cdots,\left(x_{n}, A\left(x_{n}\right)\right\}\right.$

向量表示法：

$A=(A(x1),A(x2),?,A(xn))A=\left(A\left(x_{1}\right), A\left(x_{2}\right), \cdots, A\left(x_{n}\right)\right)$

一般地,若 $0?ai?1,i=1,2,?,n,0\leqslant a_{i} \leqslant 1, i=1,2, \cdots, n,$ 則稱 $a=(a1,a2,?,an)a=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 為模糊向量. 由此可知,模糊向置 $a=(a1,a2,?,an)a=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 可以表示論域 $U={x1,x2,?,xn}U=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right\}$ 上的模糊集 $A$

例： $A =^{'} 高個子^{'}$ 可表示為以下兩種形式

$A=0x1+0.1x2+0.4x3+0.5x4+0.8x5+1x6A=\frac{0}{x_{1}}+\frac{0.1}{x_{2}}+\frac{0.4}{x_{3}}+\frac{0.5}{x_{4}}+\frac{0.8}{x_{5}}+\frac{1}{x_{6}}$

或：
$A = (0, 0.1, 0.4, 0.5, 0.8, 1)$

無限集的表示法：

$A=∫x∈UA(x)xA=\int_{x \in U} \frac{A(x)}{x}$

這里 $∫\int$ 不是積分符號， $A (x) / x$ 也不是分數. 上例中的Y(年輕)，Q(年老)可分別表示為：

$Y=∫x∈[0,25]1x+∫x∈(25,200][1+(x?255)2]?2xQ=∫0?1?500x+∫50?x?200[1+(x?505)?2?1]x\begin{array}{l} Y=\int_{x \in[0,25]} \frac{1}{x}+\int_{x \in(25, 200]} \frac{\left[1+\left(\frac{x-25}{5}\right)^{2}\right]^{-2}}{x} \\ Q=\int_{0 \leqslant 1 \leqslant 50} \frac{0}{x}+\int_{50 \leqslant x \leqslant 200} \frac{\left[1+\left(\frac{x-50}{5}\right)^{-2 -1}\right]}{x} \end{array}$

3、模糊集合的運算性質

基本運算定義
- 包含
$\subseteq B \Leftrightarrow A(x) \leqslant B(x), \quad \forall x \in U$
- 相等

$\Leftrightarrow A(x)=B(x), \quad \forall x \in U$

并： $A∪B\quad A \cup B$ 的隸屬函數 $μ(x)\mu(x)$ 為

$\cup B)(x) \stackrel{\text { def }}{\longrightarrow} \underline{A}(x) \vee B(x), \forall x \in U$

交 $\cap B$ 的隸屬函數 $μ(x)\mu(x)$ 為

$\cap B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x) \wedge \underline{B}(x), \forall x \in U$

余 $A^{C}$ 的隸屬函數 $μ(x)\mu(x)$ 為

$Ac(x)=def?1?A(x),?x∈U{A}^{c}(x) \stackrel{\text { def }}{=} 1-{A}(x), \forall x \in U$

４、并、交、余的運算性質

冪等律

$A∪A=A,A∩A=A\quad A \cup A=A, \quad A \cap A=A$

交換律

$\cup B=B \cup A ,\quad A \cap B=B \cap A$

結合律

$\cup B) \cup C=A \cup(B \cup C), \quad(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)\\$

吸收律

$\cap(A \cup B)=A, \quad A \cup (A \cap B)=A$

分配律

$\cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C)\\ (A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C)$

0-1 律

$\cup \varnothing=A, \quad A \cap \varnothing=\varnothing, \quad U \cup A=U, \quad U \cap A=A$

還原律

$A^{c})^c=A$

對偶律

$\cup B)^{C}=A^{C} \cap B^{c}, \quad(A \cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

5、環和 $+^\hat{+}$ 與乘積 $?\cdot$

環和

$(A+^B)(x)=def?A(x)+B(x)?A(x)?B(x),?x∈U(A \hat{+} B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x)+{B}(x)-{A}(x) \cdot {B}(x), \quad \forall x \in U$

乘積

$\cdot B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x) \cdot {B}(x), \quad \forall x \in U$

運算性質
- 交換律： $A+^B=B+^A,A?B=B?AA \hat{+} {B}={B} \hat{+} {A}, \quad {A} \cdot {B}={B} \cdot {A}$
- 結合律： $(A+^B)+^C=A+^(B+^C),(A?B)?C=A?(B?C)(A \hat{+} {B}) \hat{+} {C}=A \hat{+}({B} \hat{+} {C}), \quad(A \cdot {B}) \cdot {C}={A} \cdot({B} \cdot C)$
- 0-1律： $A+^U=U,A?U=A,A+^?=A,A??=?A\hat{+} U=U, A \cdot U=A, \quad A \hat{+} \varnothing=A, \quad A \cdot \varnothing=\varnothing$
- 對偶律： $(A+^B)C=AC?BC,(A?B)C=AC+^BC(A \hat{+} B)^{C}=A^{C} \cdot B^{C}, \quad(A \cdot B)^{C}=A^{C} \hat{+} B^{C}$

注：環和、乘積運算不滿足分配律、吸收律、冪等律和排中律。

6、其它算子

取大算子

$\vee b \stackrel{\text { def }}{\text { = }}(a, b), \quad a \cdot b=a b$

有界和、取小算子

$\oplus b \stackrel{\text { def }}{=} \min (1, a+b), \quad a \wedge b\stackrel{\text {def }}{=} \min (a, b)$

愛因斯坦算子

$\stackrel{+}{\varepsilon} b\stackrel{\text { def }}{=} \frac{a+b}{1+a b}, \quad a \dot{\varepsilon} b \stackrel{\text { def }}{=}\frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}$

哈梅徹算子

$ar+b=def?a+^b?(1?r)abr+(1￣?r)(1?ab)ar?b=abr+(1?r)(a+^b)}r∈(0,+∞)\left.\begin{array}{l} a \overset{+}{r} b \stackrel{\text { def }}{=} \frac{a \hat{+} b-(1-r) a b}{r+(\overline{1}-r)(1-a b)} \\ a \overset{\cdot}{r} b= \frac{ab}{r+(1-r)(a \hat{+} b)} \end{array}\right\} r \in(0,+\infty)$

雅格爾子

$aYb=def?min?{1,(a?+bv)1/v},aλb=def?1?min?{1,[(1?a)v+(1?b)v]1/v},}v∈[1,+∞)\left.\begin{array}{l} a Y b \stackrel{\text { def }}{=} \min \left\{1,\left(a^{*}+b^{v}\right)^{1 / v}\right\}, \\ a \lambda b \stackrel{\text { def }}{=} 1-\min \left\{1,\left[(1-a)^{v}+(1-b)^{v}\right]^{1 / v}\right\}, \end{array}\right\} v \in[1,+\infty)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记：一、模糊集及其运算性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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