模糊決策通常有意見集中決策、二元排序決策和綜合評判決策（又稱模糊綜合決策）等方法。其中意見集中決策較為簡單，即是得票最多的方案作為決策結果，二元排序決策則是將評價對象的得分進行兩兩對比，最終得到最優的決策結果。相對而言，模糊綜合決策在生活和工作中使用最多，在相關文獻中也最常見到。

1、基本思想

模糊綜合決策的基本思路非常簡單，即根據評判對象列出評價項目，對每個項目定出評價的等級，并用分數表示。將所得分數累加，然后按總分的大小排列次序，以決定方案的優劣。比如高考、考研、公務員考試基本都是這種思路。

關于模糊綜合決策的幾個名字的解釋：

• 綜合評判：考慮多個因素對事物作出綜合評價。
• 評判：按照給定的條件對事物的優劣、好壞進行評比、判別。
• 綜合：評判條件包含多個因素或多個指標。

這里最常用的評分方法就是加權平均：
$$E=\sum _{i=1}^n{a}_i{S}_i,i=1,2,\dots ,n$$
這里$E$表示加權評價分數，$a_i$ 是第 $i$ 個元素所占的權重, 且要求
$$\sum _{i=1}^n{a}_i=1$$

2、模糊綜合決策 的主要步驟

• 第一步：建立因素集 $U=\left\{u_1,u_2,\dots ,u_n\right\}$ 與決斷集 $V=\left\{v_1,v_2,\dots ,v_m\right\}$

• 第二步：建立模糊綜合評判矩陣，即對于每一個因素$u_i$, 先建立單因素評判:
  $$\left(r_{i1},r_{i2},\dots ,r_{im}\right)$$
  即 $r_{ij}\left(0?r_{ij}?1\right)$ 表示 $v_j$ 對因素 $u_i$ 所作的評判, 這樣就 得到單因素評判矩陣 $\mathbf{R}={\left(r_{ij}\right)}_{n\times m}$

• 第三步：綜合評判. 根據各因素權重 $A=\left(a_1,a_2,\dots ,a_n\right)$ 綜合評判 $:B=A\oplus R=\left(b_1,b_2,\dots ,b_m\right)$ 是 $V$ 上的一個模糊子集, 根據運算 $\oplus$ 的不同定義, 可得到不同的模型.

3、常用評判模型

• $M(\wedge ,\vee )$主因素決定型
  $$b_j=\vee \left\{\left(a_i\wedge r_{ij}\right),1\le i\le n\right\}(j=1,2,\dots ,m)$$
  由于綜合評判的結果 $b_j$ 的值僅由 $a_i$ 與 $r_{ij}(i=1,2,\dots ,n)$ 中的某一個確定(先取小, 后取大運算), 著眼點是考慮主要因素, 其他因素對結果影響不大, 這種運算有時出現決策結果不易分辨的情況.

• $M(?,\vee )$主因素突出型
  $$b_j=\vee \left\{\left(a_i?r_{ij}\right),1\le i\le n\right\}(j=1,2,\dots ,m)$$
  $M(?,\vee )$ 與模型 $M(\wedge ,\vee )$ 較接近, 區別在于用 $a_i{r}_{ij}$ 代替了 $M$ $(\wedge ,\vee )$ 中的 $a_i\wedge r_{ij}$ 在模型$M$ $(?,\vee )$中,對 $r_{ij}$ 乘以小于1的權重$a_i$表明 $a_i$ 是在考慮多因素時 $r_{ij}$ 的修正值,與主要因素有關,忽略了次要因素.

• $M(\wedge ,+)$ 主因素突出型
  $$b_j=\sum \left(a_i\wedge r_{ij}\right)(j=1,2,\dots ,m)$$

• $M(?,十)$ 加權平均模型
  $$b_j=\sum \left(a_i?r_{ij}\right)(j=1,2,\dots ,m)$$
  模型$M(?,十)$對所有因素依權重大小均衡兼顧, 適用于考慮各因素起作用的情況.

4、模糊評價應用實例

考慮對某廠生產的服裝進行評價，其中

因素集 $\mathbf{U}=\left\{u_1\text{?(花色)，?}{u}_2\text{?(式樣)，?}{u}_3\text{?(耐穿程度)，?}{u}_4(價格)\right\}$ ,

評判集 $V=\left\{v_1\text{?(很歡迎)?},v_2\text{?(較歡迎)，?}{v}_3(不太歡迎),v_4\text{?(不歡迎)?}\right\}$

對各因素所作的評判如下:
$$\begin{array}{ccccc}{u}_1:& (0.2,& 0.5,& 0.2,& 0.1)\\ u_2:& (0.7,& 0.2,& 0.1,& 0)\\ u_3:& (0,& 0.4,& 0.5,& 0.1)\\ u_4:& (0.2,& 0.3,& 0.5,& 0)\end{array}$$
注意，該評判直接決定了關系矩陣：
$$R=?\begin{array}{cccc}0.2& 0.5& 0.2& 0.1\\ 0.7& 0.2& 0.1& 0\\ 0& 0.4& 0.5& 0.1\\ 0.2& 0.3& 0.5& 0\end{array}?$$
對于給定各因素權重 $A=(0.1,0.2,0.3,0.4),$ 分別用各種模型所作的評判如下：

$$\begin{array}{rl}M(\wedge ,\vee ):& B=(0.2,0.3,0.4,0.1)\\ M(?,\vee ):& B=(0.14,0.12,0.2,0.03)\\ M(\wedge ,+):& B=(0.5,0.9,0.9,0.2)\\ M(?,+):& B=(0.24,0.33,0.39,0.04)\end{array}$$

對另一組權重$A=(0.4,0.35,0.15,0.1)$, 可得到另一組評判：

$$\begin{array}{rl}M(\wedge ,\vee ):& B=(0.35,0.4,0.2,0.1)\\ M(?,\vee ):& B=(0.245,0.2,0.08,0.04)\\ M(\wedge ,+):& B=(0.65,0.85,0.55,0.2)\\ M(?,+):& B=(0.345,0.36,0.24,0.055)\end{array}$$
上述結果可以看到，對第一組權重該批產品得到的評價基本上都是“不太受歡迎”；而對第二組權重該批次產品得到的評價主要是“較歡迎”（第二個模型的結果為受歡迎）。而不同模型之間的結果相關不太大。由此可見，權重的選取往往是決定性的。

5、其它問題

• 多層次評價：通常對于因素較多的情況下，可先對因素進行分級，再針對每一級單獨進行評價，最終得到多層次綜合評價模型。
• 權重確定方法：上文已提到，權重往往是決定評價結果的關鍵因素。關于權重確定的方法也是學界一直以來重點研究的問題。現行主要方法包括統計法、模糊協調決策和模糊關系方程等方法。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记：七、模糊综合评判决策的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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