1. 前言

對于多項式函數，可以用最小二乘法求得精確的擬合結果，使得擬合函數具有全局最優的擬合誤差；對于某些非線性函數，如指數函數

，也可以對函數轉化后，求得精確的擬合結果，如上述指數函數可轉化為 ，同樣可以求得具有全局最優擬合誤差的擬合函數。上述函數都可以用MATLAB的regress函數或者polyfit函數求得最優的擬合結果，或者可以用廣義逆矩陣的最小二乘解計算而得。
但是，對于大多數非線性函數，難以求得擬合誤差全局最優的擬合結果，形如 。這一類函數，一般做法是首先預估擬合函數的參數，以此作為初始值，采用迭代優化的方法求出局部最優的擬合參數，MATLAB中用lsqcurvefit或者nonlinfit函數求出擬合函數，擬合結果的準確性由選取的初始點決定，初始點的選取極為困難。

2. 非線性擬合轉化為線性擬合

對于大多數指數函數、三角函數、多項式函數通過四則運算或者復合得到的函數，通常可以用線性微分方程來表示，形如

的常系數線性微分方程則可以表示以下形式的函數：① ② ③ 。
對于上述非線性函數，則可以通過擬合線性微分方程的系數，再計算出對應的非線性函數的參數，并利用樣本數據作為初始條件，擬合出函數中的其他常數項，如下面步驟。
微分方程需要轉化為差分方程：① ；② 。
通過擬合方程 則可得到a和b，再通過求解二次方程 ，得到兩個解r1和r2。
當r1和r2不相等時，則可得到函數 ，再利用樣本數據線性擬合則可得到C1和C2。
當r1=r2時，可得到函數 ，再利用樣本數據線性擬合則可得到C1和C2。
當r1和r2為共軛復數時，可得函數 ，其中a和b分別為r1的實部和虛部，再利用樣本數據線性擬合則可得到C1和C2。

實例MATLAB代碼如下：

% 產生樣本數據 x = linspace(0,98,50)'; y = 0.9*exp(-0.2*x)-0.3*exp(-0.06*x)+10.57; plot(x,y) % 計算差分 dyx = (y(3:end) - y(1:end-2))./(x(3:end) - x(1:end-2)); ddyx = (y(3:end) - 2*y(2:end-1) + y(1:end-2))./(x(3:end) - x(1:end-2)).^2*4; % 擬合微分方程系數 A = [dyx,y(2:end-1),-1*ones(length(dyx),1)]; b = -ddyx; a = (A.'*A)A.'*b; a(3) = a(3)/a(2); % 求解二次方程 syms r r0 = double(solve(r^2+a(1)*r+a(2))) % 線性擬合得到常數項C1,C2 A = [exp(r0(1)*x),exp(r0(2)*x)]; C = (A.'*A)A.'*(y-a(3)) % 作圖 hold on plot(x,C(1)*exp(r0(1)*x)+C(2)*exp(r0(2)*x)+a(3),'r.')

最后，還可以用lsqcurvefit函數進一步優化擬合結果，采用上述方法得到的參數作為初始點，可以修正差分方程擬合導致的誤差。

f = @(b,x)b(1)*exp(b(2)*x)+b(3)*exp(b(4)*x)+b(5); b0 = [C(1);r0(1);C(2);r0(2);a(3)]; b1 = lsqcurvefit(f,b0,x,y) hold on plot(x,f(b1,x),'k.')

總結

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