文章目錄

• • 1. 加法原則
  • • ( 1 ) 加法原則 ( 不能疊加 的事件才能用 加法原則 | 適用于 分類選取 )
    • ( 2 ) 乘法法則 ( 相互獨立 的 事件 才能用 乘法法則 | 適用于 分步選擇 )
  • 2. 習題解析
  • • ( 1 ) 習題 1 ( 加法原理 )
    • ( 2 ) 習題 2 ( 加法原則 乘法原則 綜合運用 )
    • ( 3 ) 習題 3 ( 乘法原則 )

1. 加法原則

( 1 ) 加法原則 ( 不能疊加 的事件才能用 加法原則 | 適用于 分類選取 )

加法原則 :

• 1.加法法則描述 : 事件 $A$ 有 $m$ 種 產生方式 , 事件 $B$ 有 $n$ 種 產生方式 , 則 " 事件 $A$ 或 $B$ " 有 $m+n$ 種產生方式 ;
• 1.加法法則推廣 : 設 事件 $A_1,A_2,...,A_n$ 分別有 $p_1,p_2,...,p_n$ 種 產生方式 , 若 其中 任何 兩個 事件 產生的方式 都 不重疊 , 則 " 事件 $A_1$ 或 $A_2$ 或 … 或 $A_n$ " 產生的方式 是 $p_1+p_2+...+p_n$ 種 ;
• 2.注意點 : 這里的 事件 $A_1,A_2,...,A_n$ 必須是 不能重疊的 , 即 只有 一件 事件 發生 , 如果有多個 事件 同時發生 , 就必須 使用 乘法原則 ;
• 3.適用問題 : 分類選取 ;

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( 2 ) 乘法法則 ( 相互獨立 的 事件 才能用 乘法法則 | 適用于 分步選擇 )

乘法原則 :

• 1.乘法法則描述 : 事件 A 有 m 種 產生方式 , 事件 B 有 n 種 產生方式 , 則 " 事件 A 與 B " 有 mn 種產生方式 ;
• 1.乘法法則推廣 : 設 事件 $A_1,A_2,...,A_n$ 分別有 $p_1,p_2,...,p_n$ 種 產生方式 , 若 其中 任何 兩個 事件 產生的方式 都 相互獨立 , 則 " 事件 $A_1$ 或 $A_2$ 或 … 或 $A_n$ " 產生的方式 是 $p_1{p}_2...p_n$ 種 ;
• 2.注意點 : 這里的 事件 $A_1,A_2,...,A_n$ 必須是 相互獨立 的 ;
• 3.適用問題 : 分步選取 ;

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2. 習題解析

( 1 ) 習題 1 ( 加法原理 )

題目 :

汽車市場 有 卡車 15 輛 , 面包車 8 輛 , 轎車 20 輛 ;
從市場中只購買一輛車 , 有多少種購買方式 ?

解答 :

① 這里用到了 加法原則 , 如果只能 買 一輛車的話 , 三種車 只能買一種 , 三個事件 是不能重疊的 ;

② 買卡車 有 15 種方式 , 買面包車 有 8 種方式 , 買轎車 有 20 種 , 三種方式只能選擇一種 , 三者不能重疊 ( 同時存在 ) , 因此使用加法原則 進行計算 ;

③ 結果是 : 15 + 8 + 20 = 43 ;

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( 2 ) 習題 2 ( 加法原則 乘法原則 綜合運用 )

設 $A,B,C$ 是 3 個城市 ,
從 $A$ 到 $B$ 有 3 條路 , 從 $B$ 到 $C$ 有 2 條路 , 從 $A$ 到 $C$ 有 $4$ 條路 ,
問 從 $A$ 到 $C$ 有多少種不同的方式 ?

解 :

加法原則 :
① 直接從 $A$ 到 $C$ 與 ② 從 $A$ 先到 $B$ 再到 $C$ 是 不能重疊的 , 方案 ① 與 方案 ② 需要 用家法原則 ,

乘法原則 :
方案 ② 內部需要使用 乘法原則 即 $A$ 到 $B$ 有 3 種 選擇 , $B$ 到 $C$ 有 2 種選擇 , 這兩個選擇是相互獨立的 , 需要分步 選擇 , $3?2=6$ 種 ;

最終 $N=3\times 2+4=10$ ;

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( 3 ) 習題 3 ( 乘法原則 )

題目 :

從 $1000$ 到 $9999$ 的 整數 中 :

① 含有5的數有多少個 ;
② 含有多少個 百位 和 十位數 均為 奇數 的 偶數 ;
③ 各位數 都不相同 的 奇數 有多少個;

解答 :

( 1 ) 含有 5 的數 的個數 :

① 設 數字 集合 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

② 直接求 含有 $5$ 的數 , 比較麻煩 : 這里可以分成 $1$ 位 含有 $5$ 的數 , 此時又分成 個位 十位 百位 千位 四種情況 , $2$ 位 或 $3$ 位 含有 $5$ 更加復雜 ;

③ 這里 可以 轉換一下思路 , 求 不含 5 的個數 :

• 1> 千位 : 千位數 不能 取 $0$ 和 $5$ , 只能取值 $8$ 種情況 ;
• 2> 百位 : 百位數 不能 取 $5$ , 有 $9$ 種 取值情況 ;
• 3> 十位 : 百位數 不能 取 $5$ , 有 $9$ 種 取值情況 ;
• 4> 個位 : 百位數 不能 取 $5$ , 有 $9$ 種 取值情況 ;

根據乘法原則 : 不含 $5$ 的個數位為 $8\times 9\times 9\times 9=5832$
含有 5 的個數為 : $9000?5832=3168$ ;

( 2 ) 百位 和 十位數 均為 奇數 的 偶數 :

分析 四位 數 取值方案數 :

• 1> 個位數取值方案數 : 考慮偶數的情況 : 如果為 偶數 , 那么 個位數 只能取值 $\{0,2,4,6,8\}$ 這 $5$ 種情況 ;
• 2> 十位數 和 百位數 取值 方案數 : 十位數 百位數 都是 奇數 , 那么 其 取值 $\{1,3,5,7,9\}$ , 也是 $5$ 種方案 ;
• 3> 千位數 取值 方案數 : $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , 有 $9$ 種方案 ;

根據 乘法 原則 : 百位 和 十位 均為 奇數 的 偶數 有 $9\times 5\times 5\times 5=1125$ 個 ;

( 3 ) 各位數 都不相同 的 奇數 個數 :

逐位分析 :

• 1> 分析 個位數 取值 : 個位數 如果不做限制的話 , 有 $10$ 種方案數 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , 要求 是 奇數 , 因此 個位數 只有 $5$ 中方案 , 只能從 $\{1,3,5,7,9\}$ 中取值 ;
• 2> 分析 千位 的取值 : 千位數 不做限制的話 有 $9$ 種方案 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , 如果要求 與 個位數不同 , 那么有 $8$ 種方案 ;
• 3> 分析 百位 數取值 : 百位數 如果不做限制的話 , 有 $10$ 種方案數 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , 千位 與 個位 各自 取了 一位數 , 那么只能下 $8$ 種 方案數 ;
• 4> 分析 十位 數取值 : 十位數 如果不做限制的話 , 有 $10$ 種方案數 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , 千位 , 個位 與 百位 各自 取了 一位數 , 那么只能下 $7$ 種 方案數 ;

根據乘法原則 : $1000$ 到 $9999$ 的整數中 , 各個位數 都 不相同的 奇數 有 $5\times 8\times 7\times 7=2240$ 個 ;

每一位分析的先后順序很有講究 , 一般先分析 條件限制比較苛刻的 選擇 , 在分析 比較寬松的選擇 ;


關于一一對應 的說明 :
如果 性質 $A$ 的 計數 比較困難 , 性質 $B$ 的計數比較容易 , 性質 $A$ 和 性質 $B$ 存在一一對應 , 那么對性質 $A$ 的計數 , 可以轉化為 對 性質 $B$ 的計數 ;
這里用到了 一一對應 , 如 上述 , 計數 含有 $5$ 的整數個數 , 如果正面計數比較困難 , 可以反過來 計算 不含有 $5$ 的整數個數 , 這樣就比較好計數了 , $1000$ 到 $9999$ 一共有 $9000$ 個數 , $9000?不含5的整數個數$ 與 含有 $5$ 的整數個數 是一一對應的 ;


常用的一一對應 :
① 選取問題
② 不定方程非負整數解問題
③ 非降路徑問題
④ 正整數拆分問題
⑤ 放球問題

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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