文章目錄

• 一、集合排列 和 多重集排列問題 1
• 二、 集合排列 和 多重集排列問題 2
• 三、 找一一對應計算集合排列問題 ( 反向計算 )
• 四、 圓排列問題 1
• 五、 集合交替排列問題
• 六、 圓排列問題 2
• 七、 推廣的牛頓二項式公式
• 八、 二項式展開問題

一、集合排列 和 多重集排列問題 1

題目 :

• 1.條件 : 由 字母 $a,b,c,d,e,f$ 組成 4 個字母的單詞 ;
• 2.問題 1 : 每個字母在單詞中 最多 出現一次 , 這樣的單詞個數有多少 ;
• 3.問題 2 : 如果字母允許重復 , 可以組成多少單詞 ;

問題 1 解答 :

① 每個字母最多出現一次 , 那么該問題就是 集合的排列問題 , 即 $P(6,4)$ ;
② 計算步驟 : $$P(6,4)=\frac{6!}{(6?4)!}=6\times 5\times 4\times 3=360$$

解析 :
問題限定 :
1>集合排列 : 每個字母 最多 出現 1 次 , 這是將問題 限定在了 集合的排列 問題上 ;
2>多重集排列 : 如果每個字母 最多 出現 $n$ 次 ( $n>1$) , 那么就是多重集的排列 ;


利用乘法計數原則 , 從左到右依次計算 , 第 $1$ 位 有 $6$ 種 方案 , 每個單詞只能出現 $1$ 次 , 因此第 $2$ 位 有 $5$ 種方案 , 第 $3$ 位 有 $4$ 種方案 , 第 $4$ 位 有 $3$ 種方案 ; 相乘后 結果 $6\times 5\times 4\times 3=360$ ;

問題 2 解答 :

① 如果允許重復 , 這就變成了多重集的 排列問題 ;
② 單詞每一位都有 6 種方案 , 結果為 $6^4=1296$ 種方案數 ;

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二、 集合排列 和 多重集排列問題 2

題目 :

• 1.條件 : 由 字母 $a,b,c,d,e,f$ 組成 4 個字母的單詞 ;
• 2.問題 1 : 每個字母在單詞中 最多 出現一次 , 這樣的單詞個數有多少 ;
• 3.問題 2 : 如果字母允許重復 , 可以組成多少單詞 ;

問題 1 解答 :

① 每個單詞出現一次 , 該問題本質上是 6元集 ( 集合 ) 的 排列問題 , 使用集合排序公式 $P(n,r)$ 進行計算 ; $n$ 元集的 $r$ 排列 , 計算公式如下 :
$$P(n,r)=n(n?1)(n?2)?(n?r+1)=\frac{n!}{(n?r)!}$$

② 計算過程 :
$P(6,4)=\frac{6!}{(6?4)!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=6\times 5\times 4\times 3=360$

問題 2 解答 :

① 如果字母允許重復 , 該文本本質上就是多重集的 排列問題 ; 如果不限制 其出現次數 , 多重集 ( 有 $k$ 種元素 ) 中 選取 $r$ 個元素 , 可以使用公式 $k^r$ 進行計算 ;

② 結果是 $6^4=1296$ ;

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三、 找一一對應計算集合排列問題 ( 反向計算 )

題目 :

• 1.條件 : 從 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 中選取不同的數字 ;
• 2.問題 : $4,5,6$ 不相鄰的 $7$ 位數有多少 ; ( 這里不能出現 $4,5,6$ 任意一個排列 如 $654,546$ 等 ) ;

解答 :

分析 :

• 1.正面計算 : $4,5,6$ 不相鄰的情況有很多 , 正面計算很困難 , 要考慮 個不相鄰 , 2個 與 1個不相鄰, 每個不相鄰的數字之間的排列分布等情況 , 計算量很大 ;
• 2.尋找一一對應 : 這里 先計算 $4,5,6$ 相鄰的 方案數 $A$ , $P(9,7)?A$ 與 $456$ 不相鄰的 $7$ 位數字 方案數是一一對應的 ;

計算 $4,5,6$ 相鄰的 $7$ 位數 方案數 :

① $7$ 位數 中 必定 含有 $4,5,6$ 三個數字 , 還需要選 $4$ 位數 ; 此處先統計下 這 三個數的全排列數 :
$P(3,3)=\frac{3!}{(3?3)!}=\frac{3\times 2\times 1}{1}=6$

② 一共有 $9$ 位數 , 其中 $3$ 位 是必須要選擇 , 那么還剩下 $6$ 位可選數字 , 從剩下的 $6$ 位數中選 $4$ 位數字 ;
$P(6,4)=\frac{6!}{(6?4)!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=360$

③ $4$ 位數字選好之后, 開始安排 $4,5,6$ 相鄰排列所在位置 ; $4$ 個數字 , 其 兩端 和 中間 $3$ 個空隙 , 有 $5$ 個可選位置 ;

④ $4,5,6$ 相鄰的 $7$ 位數 個數計算 :
$P(3,3)\times P(6,4)\times 5=6\times 360\times 5=10800$

⑤ $4,5,6$ 不相鄰的 $7$ 位數 等價于 任意 $7$ 位數個數 減去 $4,5,6$ 相鄰的 $7$ 位數個數 ;
$P(9,7)?10800=\frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}?10800=181440?10800=17064$

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四、 圓排列問題 1

題目 :

• 1.條件 : $5$ 對夫妻參加宴會 , 圍成一桌坐下 ;
• 2.問題 $1$ : 每對夫妻相鄰 , 有多少種方案 ;

解析 :
靈活使用圓排列公式 :
$n$ 元集 $S$ 的環形 $r?$ 排列數 :
$$\frac{P(n,r)}{r}=\frac{n!}{r(n?r)!}$$

解答 :
① 先讓 $5$ 男坐下 , 使用公式計算 $5$ 元集 $S$ 的環境 $5?$排列;
$$\frac{P(5,5)}{5}=\frac{5!}{5\times 1}=4!=4\times 3\times 2\times 1=24$$

② 每個妻子都有兩種選擇 , 坐在丈夫左邊 或者 右邊 , 有 $2^5=32$ 種選擇 ;

③ 根據乘法原則 : 共有 $24\times 32=768$ 種方案 ;

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五、 集合交替排列問題

題目 :

• 1.條件 : $5$ 個文科生 , $5$ 個理科生坐一排 ;
• 2.問題 $1$ : 有多少不同排法 ;
• 3.問題 $2$ : 交替坐成一排 有多少種 排法 ;

解答 :

問題 $1$ :

① 沒有要求坐一排的話 就是 10 個人的 全排列 $P(10,10)$; 計算過程如下 :
$$P(10,10)=\frac{10!}{(10?10)!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{1}=3628800$$
② 結果是 3628800 種不同的排法 ;

問題 $2$ :

① 計算 $5$ 個文科生 作成一拍的 全排列 :
$$P(5,5)=\frac{5!}{(5?5)!}=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$

② 計算 $5$ 個理科生 坐成一排的全排列 :
$$P(5,5)=\frac{5!}{(5?5)!}=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$

③ $5$ 個文科生 和 $5$ 個理科生 交替排成一排 , 那么有兩種插空方式 : 計算最終結果 :
$$P(5,5)\times P(5,5)\times 2=120\times 120\times 2=14400\times 2=28800$$

④ 最終結果是有 $28800$ 種方案數 ;

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六、 圓排列問題 2

題目 :

• 1.條件 : $4$ 對夫妻參加宴會 , 圍成一桌坐下 ;
• 2.問題 $1$ : 沒有任何限制條件就座 , 有多少種方案 ;
• 2.問題 $1$ : 4男 4女排成一排 , 有多少種方案 ;
• 2.問題 $1$ : 夫妻相鄰 , 有多少種方案 ;

解答 :

問題 $1$ :

① 沒有任何限制條件的圓排列 , 使用公式 $n$ 元集的 環形 $r?$ 排列個數 : $\frac{P(n,r)}{r}$ ;

②計算過程如下 :
$$\frac{P(8,8)}{8}=\frac{8!}{8\times (8?8)!}=7!=5040$$

問題 $2$ :

① 男女交替 排法 : 先排列 4男 全排列 $P(4,4)$ , 再排列 4女 全排列 $P(4,4)$ , 在進行交替插空 , 有兩種方案 ;

② 最終結果是 :
$$P(4,4)\times P(4,4)\times 2=1152$$

問題 $3$ :
① 夫妻相鄰就座 : 首先讓 丈夫 圓排列 $\frac{P(4,4)}{4}=3!=6$ , 然后讓妻子 坐在丈夫左邊 或右邊 , 每人兩種選擇 $2^4=16$ 種選擇 ;

② 最終結果是 $96$ 種 ;

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七、 推廣的牛頓二項式公式

二項式定理 :

$$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n?k}$$

牛頓二項式公式 :

$$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k$$

牛頓二項式公式 變體 :

$$(1+ax{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{x}^k$$

推廣的牛頓二項式公式 :

$$(1+x{)}^{?n}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{?n}{k})x^k$$

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八、 二項式展開問題

題目 :

• 條件 : $(1+2x{)}^n$ 展開 , $(1\le k\le n)$
• 問題 : 其中 $x^k$ 的系數是多少 ;

問題分析 :

• ① 二項式定理 : $$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n?k}$$
• ② 推論 : $$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k$$
• ③ 換元法 : 使用 $ax$ 將推論中的 $x$ 替換 :

$$\begin{array}{lcl}(1+ax{)}^n& =& {\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(ax{)}^k\\ & =& {\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^k{x}^k\end{array}$$

解答 :

① 根據 牛頓二項式 的推廣公式 :
$$(1+ax{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{x}^k$$

② $(1+2x{)}^n$ 的 $x^k$ 項為 : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k{x}^k$
$x^k$ 前面的系數是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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