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• 一、周期序列定義
• 二、周期序列示例

一、周期序列定義

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周期序列定義 : $x(n)$ 滿足
$$x(n)=x(n+N)?\infty <n<+\infty$$

條件 , 并且 $N$ 是滿足上述條件的 最小整數(shù) , $x(n)$ 可以被稱為 以 $N$ 為周期 的 周期序列 ;

周期序列可以表示為 : $$x(n)$$

這里特別注意 , 周期 $N$ 是一個(gè) " 整數(shù) " , 沒有單位 , 不是時(shí)間單位 , 這是因?yàn)?采樣間隔不確定 , 其量級(jí)可能是納秒、微秒、毫秒、秒、年等單位 ;

傅里葉級(jí)數(shù)變換時(shí) , 其 頻譜 是 離散的 , 其 時(shí)域 是 周期的 ;

連續(xù) 非周期 的 傅里葉變換 也是 連續(xù) 非周期的 ;

頻域 與 時(shí)域 存在一個(gè)對(duì)偶關(guān)系 :

• 時(shí)域 是 周期的 , 頻域 是 離散的
• 時(shí)域 是 離散的 , 頻域 是 周期的

二、周期序列示例

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給定周期序列 :

$$x(n)=\sin (\frac{\pi n}{4})$$

有 $2$ 個(gè)條件是已知條件 :

① 正弦函數(shù)周期 : $\sin$ 正弦函數(shù) 的周期是 $2\pi$ ;

$$sin(?)=sin(?+2k\pi )$$

代入到周期序列中 :

$$x(n)=sin(\frac{\pi n}{4})=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

② 周期序列特性 : 上述序列是 周期序列 , 一定滿足 $x(n)=x(n+N)?\infty <n<+\infty$ 條件 ;

代入到周期序列中 : 使用 $n+N$ 替換 $n$ ;

$$x(n)=sin(\frac{\pi n}{4})=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

$$x(n)=sin(\frac{\pi }{4}(n+N))=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

直接對(duì)比 $\sin$ 函數(shù)中的參數(shù) :

$$\frac{\pi }{4}(n+N)=\frac{\pi }{4}(n)+2k\pi$$

$$\frac{\pi }{4}n+\frac{\pi }{4}N=\frac{\pi }{4}(n)+2k\pi$$

$$\frac{\pi }{4}N=2k\pi$$

$$N=8k$$

最小周期為 $N=8,k=1$

其含義是 $1$ 個(gè) $\sin$ 模擬周期 內(nèi)采集了 $8$ 個(gè)樣本 ;

計(jì)算 $k$ 的值 :

數(shù)字角頻率 $\omega$ ( 單位 : 弧度 ) 與 模擬角頻率 $\Omega$ ( 單位 : 弧度/秒 ) 關(guān)系如下 :

$$\omega =\Omega T$$

其中 , $T$ 是采樣周期 , 單位是 秒 ;

$\omega =\frac{\pi }{4}$ ,

$\Omega =2\pi f_0$ , 其中 $f_0$ 是模擬頻率 , 沒有單位 ,

$f_0=\frac{T}{T_0}$ , 其中 $T_0$ 是模擬信號(hào) 周期 , 這里是 $2\pi$ ;

將上述內(nèi)容代入公式 :

$$\omega =\frac{\pi }{4}=\Omega T=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$\frac{\pi }{4}=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$8T=T_0$$

也就是說 在一個(gè) 模擬采樣 周期中 , 至少要采集 $8$ 個(gè)樣本 ;

下圖的 $\sin$ 函數(shù)中的一個(gè)周期內(nèi) , 采集了 $8$ 個(gè)樣本 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】周期序列 ( 周期序列定义 | 周期序列示例 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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