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• 一、自相關函數(shù) 示例

一、自相關函數(shù) 示例

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給定一個 " 周期函數(shù) " :

$$x(n)=A\sin (\omega n)$$

其中 $\omega =\frac{2\pi }{N}$ , 求該 " 周期函數(shù) " 的 " 自相關函數(shù) "

$$r_x(m)$$

" 周期信號 " 的 自相關函數(shù) 公式 :

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}{x}^{?}(n)x(n+m)$$

參考 【數(shù)字信號處理】相關函數(shù) ( 周期信號 | 周期信號的自相關函數(shù) ) 博客 ;

該信號是 " 實信號 " , 不是 " 復信號 " , 不需要使用共軛 ${}^{?}$ ;

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}x(n)x(n+m)$$

將

$$x(n)=A\sin (\omega n)$$

代入到上面的式子中 ;

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}[A\sin (\omega n)][A\sin (\omega (n+m))]$$

展開式子 , 計算得到 :

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}{A}^2\sin (\omega n)\sin (\omega n+\omega m)$$

使用 三角函數(shù) 和差化積 公式 , 參考 百度百科 https://baike.baidu.com/item/和差化積/6973039 ;

$$r_x(m)=\frac{A^2}{N}\cos \omega m\sum _{n=0}^{N?1}{\sin }^2\omega n+\frac{A^2}{N}\sin \omega m\sum _{n=0}^{N?1}\sin \omega n\cos \omega n$$

下面的式子

$$\sum _{n=0}^{N?1}\sin \omega n\cos \omega n=0$$

值為 $0$ ,

當 $n=0$ 時 , $\sin \omega n\cos \omega n=0$ ;

當 $n=1$ 時 , 與 $n=N?1$ 時 , 抵消了 ;

當 $n=2$ 時 , 與 $n=N?2$ 時 , 抵消了 ;

則最終結果為 0 , 則有 :

$$\frac{A^2}{N}\sin \omega m\sum _{n=0}^{N?1}\sin \omega n\cos \omega n=0$$

當前的推導相關函數(shù)為 :

$$r_x(m)=\frac{A^2}{N}\cos \omega m\sum _{n=0}^{N?1}{\sin }^2\omega n$$

根據 三角函數(shù)公式 :

$${\sin }^2\alpha =\frac{(1?\cos 2\alpha )}{2}$$

可得 :

$${\sin }^2\omega n=\frac{(1?\cos 2\omega n)}{2}$$

帶入到相關函數(shù)中 , 可得 :

$$r_x(m)=\frac{A^2}{N}\cos \omega m\sum _{n=0}^{N?1}\frac{1}{2}(1?\cos 2\omega n)$$

下面的式子

$$\sum _{n=0}^{N?1}\cos 2\omega n=0$$

值為 $0$ ,

則最終結果為 :

$$r_x(m)=\frac{A^2}{2}\cos \omega m$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】相关函数 ( 自相关函数示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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