文章目錄

• 一、求 cosωn 傅里葉變換
• • 0、cosωn 序列分析
  • 1、傅里葉變換與反變換公式介紹
  • 2、復(fù)變函數(shù)歐拉公式介紹
  • 3、求 cosωn 的傅里葉變換推導(dǎo)過程

一、求 cosωn 傅里葉變換

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求 $\cos {\omega }_{0}n$ 的傅里葉變換 $SFT[\cos {\omega }_{0}n]$ ?

0、cosωn 序列分析

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }|\cos {\omega }_{0}n|=\infty$$

$\cos {\omega }_{0}n$ 序列不是絕對可和的 , 序列值相加值為 $\infty$ , 但是其有傅里葉變換 ;

絕對可和 與 存在傅里葉變換 關(guān)系如下 :

• 如果 " $x(n)$序列絕對可和 " , 則 " 序列傅里葉變換 SFT " 一定存在 ;
• 如果 " 序列傅里葉變換 SFT " 存在 , 不一定 " $x(n)$序列絕對可和 " ; 某些 " 非絕對可和序列 " , 引入 廣義函數(shù) $\delta (\omega )$ 后 , 其 傅里葉變換也存在 ;

1、傅里葉變換與反變換公式介紹

傅里葉變換 : 時域 " 離散非周期 " 信號 , 其頻域就是 " 連續(xù)周期 " 的 , 其頻域 可以 展開成一個 " 正交函數(shù)的無窮級數(shù)加權(quán)和 " , 如下公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

傅里葉反變換 : 利用 " 正交函數(shù) " 可以推導(dǎo)出 " 傅里葉反變換 " , 即 根據(jù) 傅里葉變換 推導(dǎo) 序列 ;

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

2、復(fù)變函數(shù)歐拉公式介紹

復(fù)變函數(shù) 歐拉公式 :

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x①$$

$$e^{?ix}=\cos x?i\sin x②$$

單位復(fù)指數(shù)序列特點(diǎn) :

$$e^{j({\omega }_{0}n+2k\pi n)}=e^{j{\omega }_{0}n}k=0,\pm 1,\pm 2,?$$

對 $\omega$ 來說 一定是以 $2\pi$ 為周期 ;

① 與 ② 相加 , 可以得到 :

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{?ix}}{2}公式③$$

① 與 ② 相減 , 可以得到 :

$$\sin x=\frac{e^{ix}?e^{?ix}}{2i}公式④$$

可參考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/歐拉公式/92066

3、求 cosωn 的傅里葉變換推導(dǎo)過程

直接 對

$$cos{\omega }_{0}n$$

使用

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{?ix}}{2}公式③$$

公式 ,

可以得到 :

$$\cos {\omega }_{0}n=\frac{e^{i{\omega }_{0}n}+e^{?i{\omega }_{0}n}}{2}⑤$$

求上述

$$\frac{e^{i{\omega }_{0}n}+e^{?i{\omega }_{0}n}}{2}$$

序列的傅里葉變換 ,

在 【數(shù)字信號處理】序列傅里葉變換 ( 基本序列的傅里葉變換 | e^jωn 的傅里葉變換 ) 博客中 , 已經(jīng)求出了 $e^{i{\omega }_{0}n}$ 的傅里葉變換 , 結(jié)果是 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?j(\omega ?{\omega }_0)}=2\pi \delta (\omega ?{\omega }_0)$$

將 $j$ 替換成 $i$ 可以得到 :

$$SFT[e^{i{\omega }_{0}n}]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?i(\omega ?{\omega }_0)}=2\pi \delta (\omega ?{\omega }_0)⑥$$

將 ${\omega }_0$ 替換成 $?{\omega }_0$ 可以得到 :

$$SFT[e^{i(?{\omega }_0)n}]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?i(\omega +{\omega }_0)}=2\pi \delta (\omega +{\omega }_0)⑦$$

將 ⑥ 和 ⑦ 帶入到 ⑤ 式子中 , 可以得到 :

$$SFT[\cos {\omega }_{0}n]=\frac{2\pi \delta (\omega ?{\omega }_0)+2\pi \delta (\omega +{\omega }_0)}{2}$$

最終得到 :

$$SFT[\cos {\omega }_{0}n]=\pi \delta (\omega ?{\omega }_0)+\pi \delta (\omega +{\omega }_0)$$

將 $\pi$ 提取出來 , 得到 :

$$SFT[\cos {\omega }_{0}n]=\pi (\delta (\omega ?{\omega }_0)+\delta (\omega +{\omega }_0))$$

$SFT[\cos {\omega }_{0}n]$ 如下圖所示 :

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 cosωn 的傅里叶变换 | 复变函数欧拉公式 )的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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