Python 中的廣播

這是一個(gè)不同食物(每100g)中不同營養(yǎng)成分的卡路里含量表格，表格為3行4列，列表示不同的食物種類，從左至右依次為蘋果，牛肉，雞蛋，土豆。行表示不同的營養(yǎng)成分，從上到下依次為碳水化合物，蛋白質(zhì)，脂肪。

那么，現(xiàn)在想要計(jì)算不同食物中不同營養(yǎng)成分中的卡路里百分比。

現(xiàn)在計(jì)算蘋果中的碳水化合物卡路里百分比含量，首先計(jì)算蘋果（100g）中三種營養(yǎng)成分卡路里總和56+1.2+1.8
= 59，然后用56/59 = 94.9%算出結(jié)果。

可以看出蘋果中的卡路里大部分來自于碳水化合物，而牛肉則不同。

對(duì)于其他食物，計(jì)算方法類似。首先，按列求和，計(jì)算每種食物中（100g）三種營養(yǎng)成分總和，然后分別用不用營養(yǎng)成分的卡路里數(shù)量除以總和，計(jì)算百分比。

那么，能否不使用for循環(huán)完成這樣的一個(gè)計(jì)算過程呢？

假設(shè)上圖的表格是一個(gè)4行3列的矩陣\(A\)，記為 \(A_{3\times 4}\)，接下來要使用Python的numpy庫完成這樣的計(jì)算。打算使用兩行代碼完成，第一行代碼對(duì)每一列進(jìn)行求和，第二行代碼分別計(jì)算每種食物每種營養(yǎng)成分的百分比。

在jupyter notebook中輸入如下代碼，按shift+Enter運(yùn)行，輸出如下。

下面使用如下代碼計(jì)算每列的和，可以看到輸出是每種食物(100g)的卡路里總和。

其中sum的參數(shù)axis=0表示求和運(yùn)算按列執(zhí)行，之后會(huì)詳細(xì)解釋。

接下來計(jì)算百分比，這條指令將 \(3\times 4\)的矩陣\(A\)除以一個(gè)\(1 \times 4\)的矩陣，得到了一個(gè) \(3 \times 4\)的結(jié)果矩陣，這個(gè)結(jié)果矩陣就是要求的百分比含量。

下面再來解釋一下A.sum(axis = 0)中的參數(shù)axis。axis用來指明將要進(jìn)行的運(yùn)算是沿著哪個(gè)軸執(zhí)行，在numpy中，0軸是垂直的，也就是列，而1軸是水平的，也就是行。

而第二個(gè)A/cal.reshape(1,4)指令則調(diào)用了numpy中的廣播機(jī)制。這里使用 \(3 \times 4\)的矩陣\(A\)除以 \(1 \times 4\)的矩陣\(cal\)。技術(shù)上來講，其實(shí)并不需要再將矩陣\(cal\) reshape(重塑)成 \(1 \times 4\)，因?yàn)榫仃?span id="vt6mr5x" class="math inline">\(cal\)本身已經(jīng)是 \(1 \times 4\)了。但是當(dāng)寫代碼時(shí)不確定矩陣維度的時(shí)候，通常會(huì)對(duì)矩陣進(jìn)行重塑來確保得到想要的列向量或行向量。重塑操作reshape是一個(gè)常量時(shí)間的操作，時(shí)間復(fù)雜度是\(O(1)\)，它的調(diào)用代價(jià)極低。

那么一個(gè) \(3 \times 4\) 的矩陣是怎么和 \(1 \times 4\)的矩陣做除法的呢？讓來看一些更多的廣播的例子。

在numpy中，當(dāng)一個(gè) \(4 \times 1\)的列向量與一個(gè)常數(shù)做加法時(shí)，實(shí)際上會(huì)將常數(shù)擴(kuò)展為一個(gè) \(4 \times 1\)的列向量，然后兩者做逐元素加法。結(jié)果就是右邊的這個(gè)向量。這種廣播機(jī)制對(duì)于行向量和列向量均可以使用。

再看下一個(gè)例子。

用一個(gè) \(2 \times 3\)的矩陣和一個(gè) \(1 \times 3\) 的矩陣相加，其泛化形式是 \(m \times n\) 的矩陣和 \(1 \times n\)的矩陣相加。在執(zhí)行加法操作時(shí)，其實(shí)是將 \(1 \times n\) 的矩陣復(fù)制成為 \(m \times n\) 的矩陣，然后兩者做逐元素加法得到結(jié)果。針對(duì)這個(gè)具體例子，相當(dāng)于在矩陣的第一列加100，第二列加200，第三列加300。這就是在前面的計(jì)算卡路里百分比的廣播機(jī)制，只不過這里是除法操作（廣播機(jī)制與執(zhí)行的運(yùn)算種類無關(guān)）。

下面是最后一個(gè)例子

這里相當(dāng)于是一個(gè) \(m \times n\) 的矩陣加上一個(gè) \(m \times 1\) 的矩陣。在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，會(huì)先將 \(m \times 1\) 矩陣水平復(fù)制 \(n\) 次，變成一個(gè) \(m \times n\) 的矩陣，然后再執(zhí)行逐元素加法。

廣播機(jī)制的一般原則如下：

這里先說一下本人對(duì)numpy廣播機(jī)制的理解。

首先是numpy廣播機(jī)制

如果兩個(gè)數(shù)組的后緣維度的軸長度相符或其中一方的軸長度為1，則認(rèn)為它們是廣播兼容的。廣播會(huì)在缺失維度和軸長度為1的維度上進(jìn)行。

后緣維度的軸長度：A.shape[-1] 即矩陣維度元組中的最后一個(gè)位置的值

對(duì)于博客中卡路里計(jì)算的例子，矩陣 \(A_{3,4}\) 后緣維度的軸長度是4，而矩陣 \(cal_{1,4}\) 的后緣維度也是4，則他們滿足后緣維度軸長度相符，可以進(jìn)行廣播。廣播會(huì)在軸長度為1的維度進(jìn)行，軸長度為1的維度對(duì)應(yīng)axis=0，即垂直方向，矩陣 \(\text{cal}_{1,4}\) 沿axis=0(垂直方向)復(fù)制成為 \(\text{cal_temp}_{3,4}\) ，之后兩者進(jìn)行逐元素除法運(yùn)算。

現(xiàn)在解釋上圖中的例子

矩陣 \(A_{m,n}\) 和矩陣 \(B_{1,n}\) 進(jìn)行四則運(yùn)算，后緣維度軸長度相符，可以廣播，廣播沿著軸長度為1的軸進(jìn)行，即 \(B_{1,n}\) 廣播成為 \({B_{m,n}}'\) ，之后做逐元素四則運(yùn)算。

矩陣 \(A_{m,n}\) 和矩陣 \(B_{m,1}\) 進(jìn)行四則運(yùn)算，后緣維度軸長度不相符，但其中一方軸長度為1，可以廣播，廣播沿著軸長度為1的軸進(jìn)行，即 \(B_{m,1}\) 廣播成為 \({B_{m,n}}'\) ，之后做逐元素四則運(yùn)算。

矩陣 \(A_{m,1}\) 和常數(shù)$ R$ 進(jìn)行四則運(yùn)算，后緣維度軸長度不相符，但其中一方軸長度為1，可以廣播，廣播沿著缺失維度和軸長度為1的軸進(jìn)行，缺失維度就是axis=0,軸長度為1的軸是axis=1，即\(R\)廣播成為 \({B_{m,1}}'\) ，之后做逐元素四則運(yùn)算。

最后，對(duì)于Matlab/Octave 有類似功能的函數(shù)bsxfun。

總結(jié)一下broadcasting，可以看看下面的圖：

總結(jié)

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