所有奇數長度子數組的和

題目：給你一個正整數數組 arr ，請你計算所有可能的奇數長度子數組的和。

子數組 定義為原數組中的一個連續子序列。

請你返回 arr 中 所有奇數長度子數組的和 。

示例 1：
輸入：arr = [1,4,2,5,3]
輸出：58
解釋：所有奇數長度子數組和它們的和為：
[1] = 1
[4] = 4
[2] = 2
[5] = 5
[3] = 3
[1,4,2] = 7
[4,2,5] = 11
[2,5,3] = 10
[1,4,2,5,3] = 15
我們將所有值求和得到 1 + 4 + 2 + 5 + 3 + 7 + 11 + 10 + 15 = 58

示例 2：
輸入：arr = [1,2]
輸出：3
解釋：總共只有 2 個長度為奇數的子數組，[1] 和 [2]。它們的和為 3 。

示例 3：
輸入：arr = [10,11,12]
輸出：66

提示：
1 <= arr.length <= 100
1 <= arr[i] <= 1000

解題思路

解法一

我們只需要枚舉所有的奇數長度的子數組即可。在下面的代碼中，i 用來枚舉每個連續子數組的起點，gap為連續子數組的長度。accumulate用來計算起點是 i，長度為 gap 的子數組的和。時間復雜度是 O(n^3) 的。

代碼展示

代碼如下：

class Solution { public:int sumOddLengthSubarrays(vector<int>& arr) {int sum=0,n=arr.size();for(int i=0;i<n;i++){for(int gap=1;i+gap-1<n;gap+=2){sum+=accumulate(arr.begin()+i,arr.begin()+i+gap,0);}}return sum;} };

解法二

就是遍歷一遍所有的元素，然后查看這個元素會在多少個長度為奇數的數組中出現過。

比如題目給出的第一個測試用例 [1, 4, 2, 5, 3] 中；
1 在 3 個長度為奇數的數組中出現過：[1], [1, 4, 2], [1, 4, 2, 5, 3]；所以最終的和，要加上 1 * 3；
4 在 4 個長度為奇數的數組中出現過：[4], [4, 2, 5], [1, 4, 2], [1, 4, 2, 5, 3]；所以最終和，要加上 4 * 4；
2 在 5 個長度為奇數的數組中出現過：[2], [2, 5, 3], [4, 2, 5], [1, 4, 2], [1, 4, 2, 5, 3]；所以最終和，要加上 5 * 2；
…

下面的關鍵就是，如何計算一個數字在多少個奇數長度的數組中出現過？
對于一個數字，它所在的數組，可以在它前面再選擇 0, 1, 2, … 個數字，一共有 left = i + 1 個選擇；
可以在它后面再選擇 0, 1, 2, … 個數字，一共有 right = n - i 個選擇。
如果在前面選擇了偶數個數字，那么在后面，也必須選擇偶數個數字，這樣加上它自身，才構成奇數長度的數組；
如果在前面選擇了奇數個數字，那么在后面，也必須選擇奇數個數字，這樣加上它自身，才構成奇數長度的數組；
數字前面共有 left 個選擇，其中偶數個數字的選擇方案有 left_even = (left + 1) / 2 個，奇數個數字的選擇方案有 left_odd = left / 2 個；
數字后面共有 right 個選擇，其中偶數個數字的選擇方案有 right_even = (right + 1) / 2 個，奇數個數字的選擇方案有 right_odd = right / 2 個；
所以，每個數字一共在 left_even * right_even + left_odd * right_odd 個奇數長度的數組中出現過。

鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/sum-of-all-odd-length-subarrays/solution/cong-on3-dao-on-de-jie-fa-by-liuyubobobo/

代碼展示

代碼如下：

class Solution { public:int sumOddLengthSubarrays(vector<int>& arr) {int res=0;for(int i=0;i<arr.size();i++){int left=i+1,right=arr.size()-i,left_even=(left+1)/2,left_odd=left/2,right_even=(right+1)/2,right_odd=right/2;res+=(left_even*right_even+left_odd*right_odd)*arr[i];}return res;} };

總結

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