強聯通分量

強連通：有向圖 \(G\) 強連通表示，\(G\) 中任意兩個結點連通。

強連通分量( Strongly Connected Components ，簡稱 \(\operatorname{SCC}\) )：極大的 強連通子圖。

Tarjan

維護了以下兩個變量：

• \(dfn\) ：深度優先搜索遍歷時結點 \(u\) 被搜索的次序 。

• \(low\) ：設以 \(u\) 為根的子樹為 \(subtree(u)\) 。 \(low\) 定義為以下結點的 \(dfn\) 的最小值： \(subtree(u)\) 中的結點；從 \(subtree(u)\) 通過 一條 不在搜索樹上的邊能到達的結點 。

從根開始的一條路徑上的 \(dfn\) 嚴格遞增，\(low\) 嚴格非降。

對于一個連通分量圖，我們很容易想到，在該連通圖中有且僅有一個 \(dfn[u]=low[u]\) 。該結點一定是在深度遍歷的過程中，該連通分量中第一個被訪問過的結點，因為它的 \(dfn\) 值和 \(low\) 值最小，不會被該連通分量中的其他結點所影響。

因此，在回溯的過程中，判定 \(dfn[u]=low[u]\) 的條件是否成立，如果成立，則棧中從 后面的結點構成一個 \(\operatorname{SCC}\) 。

P2341 [HAOI2006]受歡迎的牛 G \(-\) 模板

$\texttt{code}$ #define Maxn 10005 #define Maxm 50005 void tarjan(int u) {dfn[u]=low[u]=++Time; s.push(u),ins[u]=true;for(int i=hea[u];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]) tarjan(ver[i]),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);else if(ins[ver[i]]) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);}if(dfn[u]==low[u]){sum+=1;do{belong[u]=sum;u=s.top(); s.pop(); ins[u]=false;cnt[sum]+=1;} while(dfn[u]!=low[u]);} }for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);

時間復雜度 \(O(n+m)\) 。

Kosaraju

復雜度 \(O(n+m)\) 。

Garbow

復雜度 \(O(n+m)\) 。

我們可以利用強聯通分量將一張圖的每個強連通分量都縮成一個點。

然后這張圖會變成一個 \(\operatorname{DAG}\)，可以進行拓撲排序以及更多其他操作 。

應用 \(-\) 縮點

P3387 【模板】縮點

for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i); for(int i=1;i<=tot[0];i++)if(belong[fro[0][i]]!=belong[ver[0][i]])add(1,belong[fro[0][i]],belong[ver[0][i]]),ind[belong[ver[0][i]]]++; topo();

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割點與橋

在無向圖中刪去這個點 \(/\) 邊會使極大強聯通增大，那么這個點 \(/\) 邊為割點 \(/\) 橋 。

注意這里的 \(dfn\) 表示不經過父親，能到達的最小的 \(dfn\) 。

割點

P3388 【模板】割點(割頂)

關鍵條件：

• 若 \(u\) 是根節點，當至少存在 \(2\) 條邊滿足 \(low[v] >= dfn[u]\) 則 \(u\) 是割點 。

• 若 \(u\) 不是根節點，當至少存在 \(1\) 條邊滿足 \(low[v] >= dfn[u]\) 則 \(u\) 是割點 。

$\texttt{code}$ void tarjan(int u,int fa) {dfn[u]=low[u]=++Time;for(int i=hea[u];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i],u),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);if(low[ver[i]]>=dfn[u]) cnt[u]+=1;}else if(ver[i]!=fa) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);} }for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) cnt[i]-=1,tarjan(i,0); for(int i=1;i<=n;i++) if(cnt[i]>=1) ans+=1;

割邊(橋)

關鍵條件：

• 當存在一條邊條邊滿足 \(low[v] > dfn[u]\) 則邊 \(i\) 是割邊

關鍵部分的代碼：

注意：記錄上一個訪問的邊時要記錄邊的編號，不能記錄上一個過來的節點(因為會有重邊)！！！

$\texttt{code}$ void tarjan(int x,int Last_edg) {dfn[x]=low[x]=++Time;for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i],i);low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>dfn[x]) edg[i]=edg[i^1]=1;}else if(i!=(Last_edg^1)) low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);} }for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0); for(int j=2;j<=tot;j+=2) ans+=tag[j];

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雙聯通分量

邊雙聯通分量

顯然，找出每一個橋，去掉這些橋之后的每一個聯通塊都是一個邊雙聯通字圖。

注意：用邊雙縮點的時候先處理出割邊，之后用 \(\text{dfs}\) 求出每一個雙聯通分量，不用棧！！

例題：P2860 [USACO06JAN]Redundant Paths G

$\texttt{solution}$

一句話題意：要將原圖轉化為邊雙聯通圖需要添加的最少邊數

我們可以先將所有的橋找出來，并同時對所有邊雙縮點，會得到一顆縮完點的、由橋構成的“樹”。

我們發現這棵“樹”上“葉子結點”的個數除二向上取整就是需要添加的邊的條數。

點雙連通分量

小粉兔的圓方樹——點雙詳解

【模板】點雙連通分量

回憶 \(low\) 的定義，就是 \(x\) 的子樹內最多經過一條反祖邊或一條向父親的邊能夠到達的最小的 \(dfn\) 值。

當 \(x\) 不是這個連通塊的根時，如果存在一條邊滿足 \(low(ver)\ge dfn(x)\)，那么 \(x\) 就是一個個點。

而 \(x\) 是根時，\(x\) 需要存在至少兩條邊滿足以上條件。

這是因為當 \(x\) 為根時，沒有父親與之相連。

那么當我們在求點雙時，只需要判斷子樹內的 \(low\) 是否會 \(<dfn(x)\)，若會，則說明子樹中的點能夠到達 \(x\) 的祖先，\(x\) 必然不是個點。而若不會，即 \(low(ver)\ge dfn(x)\)，則說明 \(x\) 是這個點雙的頂端個點，這時可以將遞歸進入的點都彈出，直至棧頂元素變為 \(ver\)，再將 \(ver\) 從棧中彈出，加上 \(x\) 就是這個點雙聯通分量了。

還要注意孤立點的情況。

如果需要處理點雙中點的個數，那么可以在棧中存放點，例如一下代碼：

void tarjan(int x) {dfn[x]=low[x]=++Time,sta[++tp]=x;if(tp==1 && !hea[x]) { SCC[++sum].pb(x); return; }for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i]);low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>=dfn[x]){sum++;do { SCC[sum].pb(sta[tp--]); }while(sta[tp+1]!=ver[i]);SCC[sum].pb(x);}}else low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);} }

而如果需要處理點雙中的邊，那么就需要在棧中存邊，如以下代碼：

void tarjan(int x,int fa) {dfn[x]=low[x]=++Time;int cntson=0;for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){sta[++tp]=i,tarjan(ver[i],i),cntson++;low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>=dfn[x]){isdian[x]=true,sum++;int tmp=0;do{tmp=sta[tp--];scc[sum].pb(fro[tmp]);scc[sum].pb(ver[tmp]);}while(tmp!=i);}}else if(i!=(fa^1)) low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]); }if(fa==0 && cntson==1) isdian[x]=false; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的连通性相关的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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