【原題鏈接】

【題意說明】

有一組共有N個正整數，每次只能取其中的一個數，每次沒有被取到的數會減少相應的值，把每次取到數的值累加，問共要取K個數，在所有取法中，和最大是多少？

【問題分析】

快排+部分和

首先，假定k=n，我們該如何安排，假定每個位置的兩個數為xi，yi，顯然sum(xi)這部分的和是固定的，那對于yi該怎么安排呢？一種安排是把yi從大到小排好序，越大的yi越先使用，這樣就得一個和為sum((i-1)*yi)，記為：sum0。這部分和是不是所有方案最小的呢？我們來討論一下：

假定有另一種方案，它是上面排序方案的一種變形，其它位置不變，只把yi，與yj交換（其中i<j且yi>yj)用這個方案的和記為sum1，則：

sum1-sum0=(i-1)*yj+(j-1)*yi-(i-1)*yi-(j-1)*yi=i*yj-i*yi+j*yi-j*yj=(j-i)*(yi-yj)>0

同樣的方案可以處理其它種方案都的和都比sum0要大，所以得按sum0這種方案排序得sum0的值最小，即得sum(xi)-sum0的值最大。

這樣我們在k=n時，只要把所有的數據按yi的值先排序即可得到所需要的結果。

那現在對k<n呢？是不是也可以利用上面的這種想法呢？結果是顯然的！

假定我們從n個數中先取了k個數，這k個數該怎么排呢？顯然這也就是從k個數中選取k個數，同上面的想法一樣，只需要把yi從大到排序就好了。

若照此方法，就變成了從n個數中選k個，再排序，那時間復雜度也太大了吧！

更優的方法是，先把數據按yi從大到小排序（當yi相同時，按xi從大到小排序），這樣選擇出來的k個數也必然是有序的。

按照從n個人中去掉一個，剩下的n-1個人和最大，再從這n-1個人中去掉一個，剩下的n-2個人和最大，……一直到只剩下k個人即可！這其中的計算就需要使用部分和的方法了！

轉載于:https://www.cnblogs.com/ahmasoi/archive/2012/11/02/2751648.html

總結

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