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• 一、系統因果性與穩定性示例一
• 二、系統因果性與穩定性示例二

一、系統因果性與穩定性示例一

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判斷系統的 因果性 與 穩定性 :

$$y(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N?1}x(n?k)$$

因果性 : " 離散時間系統 " $n$ 時刻 的 " 輸出 " , 只取決于 $n$ 時刻 及 $n$ 時刻 之前 的 " 輸入序列 " , 與 $n$ 時刻之后 的 " 輸入序列 " 無關 ;

穩定性 : 如果 " 輸入序列 " 有界 , 則 " 輸出序列 " 也有界 ;

因果性證明 :

由于 $k$ 的取值范圍是 $[0,N?1]$ 區間 ,

$y(n)$ 與 $x(n),x(n?1),?,x(n?N+1)$ 有關 ;

也就是 $y(n)$ 只與$n$ 時刻以及 $n$ 時刻之前的 " 輸入序列 " 有關 ,

因此 , 該系統具有 " 因果性 " ;

穩定性證明 :

如果 $|x(n)|\le B$ , 是有界的 ,

則有 $|y(n)|\le \frac{1}{N}\times NB=B$ , 求和的結果也是有界的 ,

$\sum h(n)<\infty$ 就是不可和的 ;

因此 , 該系統具有 " 穩定性 " ;

二、系統因果性與穩定性示例二

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判斷系統的 因果性 與 穩定性 :

$$y(n)=e^{x(n)}$$

因果性 : " 離散時間系統 " $n$ 時刻 的 " 輸出 " , 只取決于 $n$ 時刻 及 $n$ 時刻 之前 的 " 輸入序列 " , 與 $n$ 時刻之后 的 " 輸入序列 " 無關 ;

穩定性 : 如果 " 輸入序列 " 有界 , 則 " 輸出序列 " 也有界 ;

因果性證明 :

$y(n)$ 與 $x(n)$ 有關 ;

也就是 $y(n)$ 與 $n$ 時刻以及 $n$ 時刻之前的 " 輸入序列 " 有關 , 更準確的說是 只與 $n$ 時刻的 $x(n)$ 有關 ;

因此 , 該系統具有 " 因果性 " ;

穩定性證明 :

如果 $|x(n)|\le B$ , 是有界的 ,

則有 $|y(n)|\le e^B$ , 求和的結果也是有界的 ,

$\sum h(n)<\infty$ 就是不可和的 ;

因此 , 該系統具有 " 穩定性 " ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】LTI 系统因果性与稳定性示例 ( 示例一 | 示例二 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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